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1、新课程数学必修4 平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。本章知识框架向量的定义向量的表示向量间的关系向量相等向量相反向量共线向量符号表示几何表示基底表示坐标表示向量的运算加法减法数乘向量的应用数量积平行与共线长度夹角垂直一基本知识点回顾1向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；3向量的长度：向量的大小称为向量的长度
2、（或称为模），记作说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段(2)向量不同于数量数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小4几组特殊的向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个规定所有的零向量都相等单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量平行向量（即共线向量）：方向
3、相同或相反的非零向量叫做平行向量记作说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（3）规定：零向量与任意向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量若与相等，记作相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量向量的相反向量记为5向量加法的概念：已知向量和，在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作，即求两个向量和的运算叫做向量的加法规定：，即；向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；向量加法的平行四边
4、形法则：说明：(1)求和向量必须共起点(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则6向量加法的运算律：交换律：；结合律：7向量减法的有关概念:若，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法8向量减法的作图方法:在平面内任取一点，作，则，即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量9向量的数乘的定义：一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；(2 ) 当0时，与方向相同，当0时，与，方向相反，当0时，实数与向量相乘，叫做向量的数乘10向量数乘的运算律：（1） (结合律)；（2） (分配律)；（3） (分
5、配律)11向量共线定理：一般地，对于两个向量（），如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得12平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使=+我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底13向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj ，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=(x，y) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，式为向量的坐标表示14向量
6、坐标运算：已知，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标15共线向量坐标表示的一般性结论：设a，b（a），如果ab，那么；反过来，如果，那么ab结论（简单表示）：向量与共线16.向量的夹角：对于两个非零向量和，作=，=，则（0180）叫做向量和的夹角特别地，当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向；当=90时，则称向量a与b垂直，记作ab17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos叫做向量a和b的数量积（或内积）（scalar product of vectors），记作
7、ab，即：ab=|a|b|cos我们规定：零向量与任一向量的数量积为0向量数量积模的性质：当a与b 同向时，ab=|a|b|；当a与b 反向时，ab=|a|b|特别地，aa=|a|2或|a|= 向量数量积的运算律：设向量a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：（1）ab=ba；（交换律）； （2）（a）b=a（b）=（ab）=ab；（结合律）；（3）（a+b）c=ac+bc（分配律）。18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和推论及公式：l 设a=（x，y），则a2=x2
8、+y2，即|a|=l 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB = l a=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为，则有l =019.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：向量运算/定理/定义几何意义物理学原型相反向量：-a作用力与反作用力加法：a + b三角形法则（平行四边形法则）位移的合成、力的合成减法：a - b三角形法则（减法是加法的逆运算）数乘：a共线向量（b = a (a0) b/a）位移=速度时间平面向量基本定理力的分解数量积：ab = |a| |b| cos功二典型例题分析例1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边
9、形ABCD是什么样的四边形?例2. 化简：（1）_；（2）_；（3）_例3. 若=3e1,=5e1,且|=|，判断四边形ABCD的形状例4. 若，则_例5. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_,y=_例6. 向量，且与的方向相同，则的取值范围是例7. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若，则m的值为_例8. 已知点在内，且，设，其中，则等于_.例9. 已知向量则的坐标是_例10. 已知平面内三点，则x的值为_例11. 设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标例12. 已知垂直，求实数k的值例13. 已知|p|=，|q|=3，
10、p、q的夹角为45，求以a=5p+2q，b=p3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长例14. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（试判断ABC的形状例15. 已知|=3 ，|=4， (且与不共线)， 当且仅当k为何值时， 向量+k与k互相垂直?例16. 已知向量a、b满足例17. 若向量，满足且与的夹角为，则_例18. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，1），且=2，则等于_例19. ABC中，则_（答：9）例20. 已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；例21. 已知，且，则x_（答：4）；例22. 已知ABC中，A（2，1），B（3
11、，2），C（3，1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标例23. 已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角例24. 把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，则原函数的解析式为 （）例25. 设向量与的夹角为，则_()例26. 设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标例27. 已知若存在不为零的实数和角，使得，且，试求实数的取值范围例28. 已知M(1+cos2x，1)，N(1，sin2x+a)(x，aR，a是常数)，且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x)；若x0，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到例29. 已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 （1，2）。若|，且，求的坐标；若|=且与垂直，求与的夹角.例30. 平面内向量，)，点X为直线OP上动点.当取最小值时，求的向量坐标.当点X满足中条件和结论时，求cosAXB的值5
