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1、新教材适用北师大版数学应用举例利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下:一、测量问题例1、如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120cm,求河的宽度分析:求河的宽度,就是求ABC在AB边上的高,而在河的一边,已测出AB长、CAB、CBA,这个三角形可确定解析:由正弦定理得,AC=AB=120m,又,解得CD=60m点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”二、遇险问题例2、某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度
2、向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30北若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上;舰艇航行半小时后到达B点,测得S在东30北的方向上 在ABC中,可知AB=3005=15,ABS=150,ASB=15,由正弦定理得BS=AB=15,过点S作SC直线AB,垂足为C,则SC=15sin30=75这表明航线离灯塔的距离为75海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁的危险点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是:(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2)画出示意图,
3、并将已知条件在图形中标出;(3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解三、追击问题例3、如图3,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45方向,距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行,若甲船以28n mile/h的速度航行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船?解析:设用t h,甲船能追上乙船,且在C处相遇在ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设ABC=,BAC=1804515=120根据余弦定理,(4t3)(32t+9)=0,解得t=,t=(舍)AC=28=21 n mile,BC=20=15 n mile根据正弦定理,
4、得,又=120,为锐角,=arcsin,又,arcsin,甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ABC、AB边已知,另两边未知,但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间t有关这样根据余弦定理,可列出关于t的一元二次方程,解出t的值四、最值问题例4、某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为,半径为a的扇形边角料,现要废物利用,从中剪裁下巨型毛坯,要求矩形面积尽可能大,请问如何裁剪?分析:从实际出发,尽可能使面积最大,有两种裁剪方法一种是使矩形的一边落在扇形的半径上,另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上,分别计
5、算出这两种情况下的最大值,再比较结果的出最佳方案解:方案一,如图1,矩形有两个顶点在半径OA上,设AOP =,则PM = asin,扇形中心角为,PQO =,由正弦定理,得:=,即PQ =asin(),矩形的MPQR的面积为:S=PMPQ =asinsin() =acos()cosa(1) =a,当=时,cos() = 1,S取得最大值a方案二,如图2,矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上,设AOM =,MRA =,MRO =,由正弦定理,得:=,即RM = 2asin,又=,OR = 2asin(),矩形的MPQR的面积为:S= MRPQ = 4asinsin() = 2acos()cos2a(1) = (2)a即在此情况下,AOM =时,可求出M点,然后作出MPQR面积为最大由于SS=a(2)a=(12)0,所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大,即AOP =,使P取在AB弧中点,分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR,即为最大矩形