二次根式知识点总结及常见题型资料编号：20190802一、 二次根式的定义形如..a( a > 0)的式子叫做二次根式•其中“ ”叫做二次根号,a叫做被开方数•(1 )二次根式有意义的条件是被开方数为非负数 •据此可以确定字母的取值范围 ；(2 )判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：① 是否含有二次根号“、， ”；② 被开方数是否为非负数•若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式•(3) 形如m、.a ( a > 0)的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是m 一 a m a ( a > 0);(4) 根据二次根式有意义的条件 ，若二次根式 A B与.B A都有意义，则有A B.二、 二次根式的性质二次根式具有以下性质：(1) 双重非负性:a > 0，a > 0；(主要用于字母的求值 )(2) 回归性：、a2 a ( a > 0);(主要用于二次根式的计算 )(3) 转化性：a2 a a(a 0).(主要用于二次根式的化简 )a(a 0)重要结论：(1)若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于 0.若 A B2 C 0,则 A 0，B 0，C 0.应用与书写规范：••• A B2 C 0,A > 0, B2 > 0,、、C > 0••• A 0, B 0,C 0.该性质常与配方法结合求字母的值 .(2).A 2B A BAB A；主要用于二次根式的化简V1 1BA ABA. B,A2 B A0(3),其中B > 0;A2 B A0该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简 ：可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的(4) A B 彳 A2 B,其中 B > 0.该结论主要用于二次根式的计算例1.式子在实数范围内有意义,则X的取值范围是 分析:本题考查二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，注意分母不能为0.第#页解：由二次根式有意义的条件可知 :x 1 0 , ••• x 1.例2.若x, y为实数，且y x 1 . 1 x 1，化简：一-2 y 1分析：本题考查二次根式有意义的条件 ，且有重要结论：若二次根式 A B与•. B A都有意义,则有AB.解：•/ x 1 > 0,1x > 0• x > 1,x w 1• x 111 ,• y 0 0122• y 1 1y1y 1 y1习题1.如果J3a 5有意义，则实数a的取值范围是 习题2.若y 飞 73 x 2,则xy 习题3.要使代数式V1 2x有意义，则x的最大值是 .J1 ~2x习题4.若函数y ，则自变量x的取值范围是 x习题 5.已知 b J3a 12 <8 2a 1,则 ab .例3.若..a 1 b2 4b 4 0 ,则ab的值等于(A) 2 ( B) 0 (C) 1 ( D) 2分析：本题考查二次根式的非负性以及结论 ：若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于0.解: •/ a 1 b2 4b 4 0 2a 1 b 2 0 2••• ..a 1 >0, b 2 >0• a 1 0,b 2 0• a 1,b 2• ab 1 2 2 •选择【D ].例4.无论x取任何实数，代数式站 ―6x―m都有意义，则m的取值范围是 .分析：无论x取任何实数，代数式\ x2 6x m都有意义，即被开方数x2 6x m > 0恒成立,所以有如下两种解法解法-「由题意可知:x2 6xm > 0•/ x26x m x 3 2 m9 > 0• x23 > 9 mT x23 > 0• 9m < 0, • m > 9.解法二1 :设 y x2 6x m•••无论x取任何实数，代数式■- x2 6x m都有意义• y x2 6x m > 0恒成立即抛物线y x2 6x m与x轴最多有一个交点26 4m 36 4m < 0解之得：m > 9.例5.已知a,b,c是厶ABC的三边长，并且满足-a 6 8 b c2 100 20c,试判断△ ABC的形状•分析：非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值解:•/ .. a 6 8 b c2 100 20c.a 6 b 8 c2 20c 100 0••• .a 6 b 8 c 10 2 0 2•••、、a 6 > 0, b 8 > 0, c 10 > 0• a 6 0,b 8 0, c 10 0• a 6,b 8,c 10••• a2 b2 62 82 100,c2 102 100• 2 ,2 2…a b c• △ ABC为直角三角形•习题6.已知实数x, y满足x 4,y 8 0 ,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长为(A) 20 或 16(C) 16(B) 20(D )以上答案均不对习题7.当x 时，丁9x 1 1取得最小值，这个最小值为 Jx2 4 J4 x2习题8.已知y ，则xy的值为x 2习题9.已知非零实数a,b满足、..a2 8a 16 b 3 .. a 5 b2 1 4 a,求 ab 1的值.提示：由a 5 b221 >0,且 b 1 0可得：a 5 > 0, • a >5.例6•计算:—2(1) .6 ;(2) 2x(3) 3II分析:本题考查二次根式的性质.、aa ( a > 0) •该性质主要用于二次根式的计算L 2解: (1) ,66;(2) 22x 32x 3;(3)注意:AB 2A2B,其中B >0.该结论主要用于二次根式的计算例7.化简:(1)・、252 ;(2)2107(3) 、x2 6x 9 x 3 .分析:本题考查二次根式的性质2.aaa(a 0) •该性质主要用于二次根式的化简a(a 0)解: (1) . 252 25 25；(2)2107107107(3)6x 9原式 3B .该结论主要用于二次根式和绝对值的化B例8.当*有意义时，化简:|x 解：•••二次根式'、x 3有意义二 x5x2 22 , 1 xx5| |x21 xx5 x2x 13x2例9.化简：,x2 23 ■ x 2分析：...x22x 2,继续化简需要x的取值范围，而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件：•、x 3的被开方数x 3为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知 ：一 x 3 > 0••• x > 3••• . x 3 彳.x 2x 3 x 2x 3 x 22x 5例10.已知0 a1石1石Va1 寸a1a%a1 0.A2 B A 01解:由二次根式有意义的条件可知：丄0a二 a 0••• * ； ,2 a ".选择【-习题23.化简2 a 得 .三、二次根式的乘法一般地，有:.a . b . ab ( a > 0, b > 0)(1 )以上便是二次根式的乘法公式 ，注意公式成立的条件：a > 0, b > 0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数 ；(2) 二次根式的乘法公式用于二次根式的计算 ；(3) 两个带系数的二次根式的乘法为 ：a n】b mn_ab ( a >0,b >0);(4) 二次根式的乘法公式可逆用 ，即有：.ab 、a 、-b ( a > 0, b > 0)公式的逆用主要用于二次根式的化简 •注意公式逆用的条件不变•例14.若、一 x - x 6 ..xx 6成立则 【 】(A) x > 6 ( B) 0 w x w 6(C) x>0 ( D) x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件 :a -.b . ab ( a > 0,b > 0)解:由题意。