整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或 5整除，这个数就能被2或 5整除；一个数的末两位能被4或 25整除，这个数就能被4或 25整除；一个数的末三位能被 8或 125 整除，这个数就能被 8或 125 整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被 11 整除 .4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7 、11或 13 整除，那么这个数能被 7 、 11 或 13 整除 .5. 如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定是 99 的倍数备注】（以上规律仅在十进制数中成立 . ）二、整除性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱ a，c︱ b，那么 c︱ ( a±b) ．性质 2 如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a，c∣b，那么 c ∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那么 b∣a， c∣a．性质 4如果数 a能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么a 一定能被 b与 c 的乘积整除．即如果b∣a， c∣a，且 ( b， c)=1 ，那么 bc∣a．例如：如果3∣12， 4 ∣12，且 (3 ，4)=1 ，那么 (3 ×4) ∣12 ．性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果b｜ a ，且 d ｜ c ，那么 bd ｜ ac；余数一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c的余数，等于 a , b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如： 23， 16除以 5 的余数分别是 3 和 1 ，所以 23+16 ＝ 39 除以 5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数例如： 23， 19 除以 5的余数分别是 3 和 4 ，所以 23+19 ＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7除以 5 的余数为 22.余数的减法定理a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a, b 分别除以 c的余数之差例如： 23， 16 除以 5的余数分别是3和 1，所以23 － 16＝ 7 除以 5 的余数等于2，两个余数差 3 － 1＝ 2.当余数的差不够减时时，补上除数再减例如： 23， 14 除以 5的余数分别是3和 4，23－14＝9 除以 5的余数等于4 ，两个余数差为 3 ＋ 5－ 4＝ 43. 余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a , b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数例如： 23， 16除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以23 ×16 除以 5 的余数等于 3 ×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数例如： 23， 19除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以23 ×19 除以 5 的余数等于 3 ×4除以 5的余数，即 2.乘方：如果 a 与 b 除以 m的余数相同，那么an 与 bn 除以 m的余数也相同．二、同余定理1、定义： 若两个整数 a、 b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、 b 对于模 m 同余，用式子表示为： a≡b ( mod m) ，左边的式子叫做同余式同余式读作：a 同余于 b，模 m2、重要性质及推论：（1）若两个数 a， b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a， b 的差一定能被m整除例如： 17与 11 除以 3 的余数都是 2 ，所以 （ 1711） 能被 3 整除．（2）用式子表示为：如果有≡ () ，那么一定有a－ ＝ ,是整数，即|(a－b)a bmod mbmk km3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“ 被m除的余数 ”，我们希N望找到一个较简单的数R，使得： N 与 R 对于除数m 同余．由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N 的个位数被 2或 5除的余数；⑵ 整数 N被 4 或 25 除的余数等于N的末两位数被4或 25除的余数；⑶ 整数 N被 8 或 125 除的余数等于 N的末三位数被8 或 125 除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3 或 9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11 除的余数；（不够减的话先适当加 11的倍数再减）；⑹ 整数 N被 7，11或 13 除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7 ，11或 13除的余数就是原数被7 ，11或 13 除的余数．奇偶一、奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数 ±偶数 =偶数，奇数 ±奇数 =偶数性质 2：偶数 ±奇数 =奇数性质 3 ：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4 ：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数 ×奇数 =偶数，奇数 ×奇数 =奇数，偶数 ×偶数 =偶数二、两个实用的推论推论 1 ：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论 2 ：对于任意 2 个整数 a, b , 有 a+b 与 a- b 同奇或同偶位值原理一、位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个 “位置值 ”例如 “2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2 个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理二、位值原理的表达形式： 以六位数为例： abcdefa×100000+ b×10000+ c×1000+ d×100+ e×10+ f 三、解位值一共有三大法宝： （ 1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（ 2）利用十进制的展开形式，列等式解答（ 3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答进制1. 十进制：我们常用的进制为十进制，特点是 “逢十进一 ”在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制比如二进制，八进制，十六进制等2. 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一 ”因此，二进制中只用两个数字 0 和1二进制的计数单位分别是1、 21、 22、 23、 ,, ，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110 在二进制中表示为： (100110)2=1×2543210。
0×2 +0×2 +1×2 +1×2 +0×2二进制的运算法则： “满二进一 ”、“借一当二 ”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一注意： 对于任意自然数 n, 我们有 n0=13. k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1， 2， ，（ k1）共 k 个数码组成，且 “逢k 进一 ”． （kk1）进位制计数单位是 k 0， k1， k 2 ， ．如二进位制的计数单位012，八进位制的计数单位是012是 2，2 ，2，8 ， 8， 8， ．4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式（a a a a） a k na1k n 1a k an n 11 0 knn10十进制表示形式：Na 10na10n1a 100 ；二进制表示形式：Nnan 1 n10 0；a 2n2a 2nn10。