《【名校资料】数学中考：第六讲 第3课时 抛物线中的一个动点问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】数学中考：第六讲 第3课时 抛物线中的一个动点问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、+二一九中考数学学习资料+第3课时抛物线中的一个动点问题(40分) 图6311(20分)2017酒泉如图631，已知二次函数yax2bx4的图象与x轴交于点B(2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数yax2bx4的表达式；(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入yax2bx4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；(2)设点N的坐标为(n，0)(2n8)，则BNn2，CN8
2、n.由题意可知，BC10，OA4，SABC20，SABN2(n2)，因MNAC，根据平行线分线段成比例定理可得，由AMN，ABN是同高三角形，可得出，从而得出AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n3时，即N(3，0)时，AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NMAC推出M为AB边中点，根据直角三角形中线定理可得OMAB，利用勾股定理，易得AB2，AC4，即可求出OMAC.解：(1)将点B，点C的坐标分别代入yax2bx4，得解得a，b.该二次函数的表达式为yx2x4；(2)设点N的坐标为(n，0)(2n8)；则BNn2，CN8n.B(2，
3、0)，C(8，0)，BC10.令x0，得y4，A(0，4)，OA4，MNAC，.OA4，BC10，SABCBCOA20. SABNBNOA(n2)42(n2)，又，SAMNSABN(8n)(n2)(n3)25.当n3时，即N(3，0)时，AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点M为AB边中点，OMAB，AB2，AC4，ABAC，OMAC.图6322(20分)2016贵港如图632，抛物线yax2bx5(a0)与x轴交于点A(5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当SABESABC时，求点E的坐标；(3)在(2)
4、的条件下，抛物线上是否存在点P，使BAPCAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得解得抛物线的表达式为yx2x5；(2)在yx2x5中，令x0，可得y5，点C坐标为(0，5)，SABESABC，且点E在x轴下方，点E纵坐标和点C纵坐标相同，当y5时，代入可得x2x55，解得x2或x0(舍去)，点E坐标为(2，5)；(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为，如答图，连结AP，CE，AE，过点E作EDAC于点D，过点P作PQx轴于点Q，第2题答图则AQAOOQ5m，PQ，在RtAOC中，OAOC5，则AC5，ACODCE45，由(2)可得EC2，
5、在RtEDC中，可得DEDC，ADACDC54，当BAPCAE时，则EDAPQA，即，m2m5(5m)或m2m5(5m)，当m2m5(5m)时，整理可得4m25m750，解得m或m5(与点A重合，舍去)，当m2m5(5m)时，整理可得4m211m450，解得m或m5(与点A重合，舍去)，存在满足条件的点P，其横坐标为或.(40分)图6333(20分)2016南宁如图633，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线yx2交于B，C两点(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)求证：ABC是直角三角形；(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N
6、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)顶点坐标为(1，1)，设抛物线表达式为ya(x1)21，又抛物线过原点，0a(01)21，解得a1，抛物线的表达式为y(x1)21，即yx22x，联立抛物线和直线表达式，可得解得或B(2，0)，C(1，3)；(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点，第3题答图则ADODBD1，BEOBOE213，EC3.ABOCBO45，即ABC90，ABC是直角三角形；(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|，由(2)在RtABD和Rt
7、CEB中，可分别求得AB，BC3，MNx轴于点N，ABCMNO90，当ABC和MNO相似时有或，当时，则有，即|x|x2|x|，当x0时M，O，N不能构成三角形，x0，|x2|，即x2，解得x1，x2，此时点N坐标为或；当时，则有，即|x|x2|3|x|，|x2|3，即x23，解得x5或1，此时点N坐标为(1，0)或(5，0)，综上可知，存在满足条件的点N，其坐标为或或(1，0)或(5，0)图6344(20分)2017泸州如图634，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点(1)求该二次函数的表达式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足DB
8、ACAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交BC，y轴于点E，F，若PEB，CEF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值【解析】 (1)根据待定系数法求解；(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)根据tanMBAtanCAO列关于t的方程求解t，从而可确定直线BD表达式，再求直线BD与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；(3)过点P作PHy轴交直线BC于点H，设P(t，at2btc)，根据直线BC表达式点H的坐标，计算线段PH长度；用t表示直线AP表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段CF，将S1S2用t表示，根据二次函数性
9、质求最值解：(1)设抛物线的表达式为ya(x1)(x4)，抛物线图象过点C(0，2)，4a2，解得a.抛物线的表达式为y(x1)(x4)，即yx2x2；(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)DBACAO，MBACAO，tanMBAtanCAO2，2，即t8.当t8时，直线BD表达式为y2x8.联立解得 D(3，2)当t8时，直线BD表达式为y2x8.联立解得 D(5，18)综上：点D的坐标为(3，2)或(5，18)；第4题答图(3)如答图，过点P作PHy轴交直线BC于点H，设P， 直线BC的表达式为yx2，则H，PHyPyHt22t；直线AP的表达式为y(x1)，取x0，得y2t；故F，C
10、F2t；联立解得xE，S1(yPyH)(xBxE)，S2.S1S2t24x.当t时，S1S2有最大值，最大值为.(20分)5(20分)2016金华在平面直角坐标系中，O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：yax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延长线上(1)已知a1，点B的纵坐标为2.如图635，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长；如图，若BDAB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式；(2)如图，若BDAB，过O，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴交抛物线L于E，F两点，
11、求的值，并直接写出的值图635解：(1)对于二次函数yx2，当y2时，2x2，解得x1，x2，AB2.平移得到的抛物线L1经过点B，BCAB2，AC4；如答图，记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N.根据抛物线的轴对称性，得BNDB，OM.设抛物线L2的函数表达式为ya2.由得，点B的坐标为，2a2，解得a24.抛物线L2的函数表达式为y4；即y4x212x18. 第5题答图(2)如答图，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BKx轴于点K.设OKt，则ABBD2t，点B的坐标为(t，at2)，根据抛物线的轴对称性，得OQ2t，OG2OQ4t.设抛物线L3的函数表达式为ya3x(x4t)，该抛物线过点B(t，at2)，at2a3t(t4t)，又t0，由题意得，点P的坐标为(2t，4a3t2)，则4a3t2ax2，解得x1t，x2t，EFt，.
