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1、线性代数方程组求解一、实验要求编程求解方程组:方程组1:1-61-71+ + + + + + * - - - fi 4 + + + + + + 1- 21 -? -41 -5181-7 + + + + + + 1 171-3l-41-51-1 9 3 4- 5 ti 工工工XE 1 1I 3114 1I ?111I丁 ii I I* 1.!110I11令|雄向量方程组2:I0nn 0n-11n(* * *Di-1- I1o 0i一 I-1-1* * *-11i-1-1-i-1一 1i/tl = 2,1. (I, I. - 2, - .4 -12 - n /求解方程方程组3:令小：=(2.3.4
2、, 明持了求解方程要求：用C/C+语言实现如下函数：1. bool lu(double* a, int* pivot, int n);实现矩阵的LU分解。pivot为输出参数，pivot0,n)中存放主元的位置排列。函数成功时返回false ,否则返回true。2. bool guass(double const* lu, int const* p, double* b, int n);求线代数方程组的解设矩阵Lunxn为某个矩阵anxn的LU分解，在内存中按行优先次序存放。p0,n）为LU分解的主元排列。b为方程组Ax=b的右端向量。此函数计算方程组 Ax=b的解，并将结果存放在数组b0,n
3、）中。函数成功时返回false,否则返回true。3. void qr（double* a, double* d, int n）; 矩阵的 QR 分解假设数组anxn在内存中按行优先次序存放。此函数使用HouseHolder变换 将其就地进行QR分解。d为输出参数，d 0,n）中存放QR分解的上三角对角线元素。4. bool hshld（double const*qr, double const*d, double*b, int n）;求线代数方程组的解设矩阵qrnxn为某个矩阵anxn的QR分解，在内存中按行优先次序存放。d 0,n）为QR分解的上三角对角线元素。b为方程组Ax=b的右端向量
4、。函数计算方程组Ax=b的解，并将结果存放在数组b0,n）中。函数成功时返回false ,否则返回true。二、问题分析求解线性方程组Ax=b,其实质就是把它的系数矩阵 A通过各种变换成一个然而矩阵A的下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此，在求解线性方程组的过 程中，把系数矩阵A变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要, 变换通常有两种分解方法：LU分解法和QR分解法。1、LU分解法:将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U,即：A=LU,其中 L=1l21ln1l n20001U=Uii000u12u2200uu2unn2、QR分解法:将A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R,即
5、:A=QR三、实验原理解Ax=b的问题就等价于要求解两个三角形方程组: Ly=b，求 y; Ux=y，求 x.设A为非奇异矩阵，且有分解式A=LU , L为单位下三角阵,U为上三角阵。L,U 的元素可以有n 步直接计算定出。用直接三角分解法解Ax=b (要求 A的所有顺序主子式都不为零)的计算公式： uliali (i 1，2， ，n),lilail / U11 j=2,3，n.计算U的第r行，L的第r列元素(i=2,3,n):r1 uri a ri Irkuki ，i =j+1,，n；k1r1 lir(airlikukr)/urr , i = r+1,n,且 r * n.k1求解 Ly=b
6、， Ux=y 的计算公式；y1b1, i1yibilikyk,i2,3, n :k1xnyn /unn , nxi(yiuikxk)/uii ,in 1,n 2,1.ki1四、实验步骤1将矩阵A 保存进计算机中，再定义2 个空矩阵 L ， U 以便保存求出的三角矩阵的值。利用公式，将矩阵A分解为LU , L为单位下三角阵,U为上三角阵。 2可知计算方法有三层循环。先通过公式计算出 U 矩阵的第一行元素uli 和 L 矩阵的第一列元素lil 。再根据公式和， 和上次的出的值， 求出矩阵其余的元素， 每次都要三次 循环，求下一个元素需要上一个结果。3先由公式 ， Ly=by1b1 ,i1yibil
7、 ik yk ,i 2,3, n:k1求出y ，因为L 为下三角矩阵，所以由第一行开始求 y.4再由公式， Ux=yXnyn/Unn,nX (yiUikXk)/Uii,i n 1,n 2, ,1.k i 1求出x,因为U为上三角矩阵，所以由最后一行开始求x.五、程序流程图1、LU分解法输入系数矩阵A,常数项b及ndet-1K=1,n-1,1调选列主元子程序消 元 过 程i=k+1,n,1回 代 过 程det amndet2、QR分解法，输入数据；A, b .矩阵A的转置Householder 换转置矩阵相乘输出上三角阵R=H3*H2*H1*A输入正交阵Q=-(H3*H2*H1) T解上三角阵输
8、出结果六、实验结果1、LU分解法方程组1 :ft CAUserswifv*ndu*neri tovi 3tud 后 20 lOProjertsXL inearequ-ticrADebugMJrwfreqFlease choose the toCO* lul4M11MH*1*1HHi1bHi一0 h q n 1 * 事，矩阵Ui分第士ii.e l电 i.a t.n is 3 3 2 2 十 .0 0 0 0 0 5 3 3 2 20 0 B修修 s 3 3 2 2H H H H H 5 3 3 2 2 一 0 R 0 H-矩阵ui分解的王元位置； 82CSS0Gss求珑性代数方程组求解二XL-t
9、l-H-W9W79SGu*解法的误差为TIIB1-0.呢骐涮 MUMM2 17.旧但FL4】 h-GL触HUl-i.eaaMMiMfl XCy)-l-0WtWtWHHb NL5x i 】-gl aeetHtMKflfl r i 打=a. ou 飨hhhh 昵 flK J=a.酬阳 VHHHMZ误差期望值%=0-0BBH0BBMB方程组2:矩阵川加解的王兀位置:XX即仃-1 UHHHHMMWUxi 1-t .hiwhhhhmmu*1 KRH日(1日白白电日贴 卡13 1-4.MWWWWW (CtS )-M. HIMHW 伸岬埠I Kt7 *TCt9 B .*111 J-H.此 UHUH 电 BU
10、H TttUl -H. HKHKHMHMUM *1151 V,WWWWV*t XEl?) -H.HHHHHHMMMM ,TCCl 9 IH IM11-1. HUHHHWM电的 g J T . IMdhUHuHHMW Sl*t . HUIW!I1I4WHI4H ?1-l .HMHMHHMWH 91-1 . FKiffHRHHnW!it -i.eeeHeeeeec 13 )-1 . MUtfUHUHUHld,：工* 望值为工修. twtwtHUHMMMt0 J-l . HK 12 1-1 .KI6 1-1 .HMHkJWffm Xlfi l-J . RfiHRRflfKlHa x(is-lceQB
11、BDeae 31112 J -1 .UHMHUEWUUHKI1H11 .心EM不或性代萩万程组字辞:X H J -W. MHMVdWWH X &)xiv -a. eeBflaBeaXE1U l-H . HJlMIHlHHeHTCI12 -S.BWHWiMHKHH XLHI-W.WWWWW KIIG I -H . IHWWWJ阁HH ,X Tl fi l-H . HWWHPIHP|PF暮解法的谡差为：*KtHl矩阵川分解的王元位:W12345t7IH1112131415 617Guay末线性代数方程殂衣爵:N WJ-lT71?6fl77fr HISl-t .71428 0307 HJ-33.2a
12、i73t72HE-4i7.S723Eflt3iK-4BU2B1793LS5 Ktiel-U 15.5 736607143 K 121TA95. Bie4it 67 it H -11701N 16 l-ESBab. 0714245714K IS -3744?, a9!23Btl9S3Gumm解注的谡差为： /00T714284077t21-7.7186287 TCH J-32.2S57317243*X&1 1蝠-鸭 72ms居匕 31 TC 8861753155F10J-1314,5736fr07143 Tt F121-4094,9164L6tB7T(ri4l-1170B.1B4761904B
13、1Mx 16Je&S ,7142 05714 Tt ri9J3744S .S9E238INS3* LI IM. 149X (31H7,2B15721S5.1SX L51-63-0tM4B6?BlX 711-218.438780&926K 19 卜打H.旬59449 KI1LI-233T.5762&18Bia Mtl3l -7020.73t07H29X USI-1B723 .672&1 9晒西 NI171-3711&.595Z380953 XI19J-0-2&5713922U-3 -142 eSS2528 316.Z8 5721S518XI7 *317.4287SIK92e r 9 1 -72 . 42555447-teF 11 -2339 r57fr26SL3 X (13 J-Tm 9
