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1、 精品资料课时强化训练(十四)一、选择题1(2013辽宁联考)已知圆M:x2y22mx30(m0)的半径为2,椭圆C:1的左焦点为F(c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为()A.B1C2 D4解析:圆M的方程可化为(xm)2y23m2,则由题意得m234,即m21(m0),m1,则圆心M的坐标为(1,0)由题意知直线l的方程为xc,又直线l与圆M相切,c1,a231,a2.答案:C2(2013银川模拟)若点P在曲线C1:1上,点Q在曲线C2:(x5)2y21上,点R在曲线C3:(x5)2y21上,则|PQ|PR|的最大值是()A6B8C10D12解析:依题意得,点C3
2、(5,0)、C2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点,因此有|PQ|PR|(|PC2|1)(|PC3|1)|PC2|PC3|224210,故|PQ|PR|的最大值是10.答案:C3(2013郑州质检)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析:过点B作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得,所以|BB1|FF1|,由抛物线定义得|BF|BB1|.令A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知F,可设直线l的方程为yk.联立方程
3、消去y得k2x2p(k22)x0,则x1x2,x1x2.又由抛物线的定义知|AF|x1,|BF|x2,则可得,于是有,解得2p3,所以此抛物线的方程是y23x,选C.答案:C4等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,|AB|4,则C的实轴长为()A.B2C4D8解析:设等轴双曲线方程为x2y2a2,根据题意,得抛物线的准线方程为x4,代入双曲线的方程得16y2a2,因为|AB|4,所以16(2)2a2,即a24,所以2a4,所以选C.答案:C5(2013荆州质检)若椭圆1(ab0)的离心率e,右焦点为F(c,0),方程ax22bxc0的两个实数根分别是
4、x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为()A. B. C2 D.解析:因为e,所以a2c,由a2b2c2,得,x1x2,x1x2,点P(x1,x2)到原点(0,0)的距离d.答案:A6已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B4 C3 D5解析:y212x的焦点为(3,0),由题意得,4b29,b25,双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线yx的距离d.答案:A二、填空题7过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|,|AF|BF|,则|AF|_.解析:设过抛物线焦点的直线为yk,联立得整理得k2x2(k22)xk2
5、0,x1x2,x1x2.|AB|x1x211,得k224,代入k2x2(k22)xk20得12x213x30,解之得x1,x2,又|AF|BF|,故|AF|x1.答案:8(2013昆明调研)已知点F(c,0)是双曲线C:1(a0,b0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆F:(xc)2y2c2相切,则双曲线C的离心率为_解析:依题意得,圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c,即有bc,c22b22(c2a2),c22a2,即双曲线C的离心率为.答案:9定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1:yx2a到直线l:yx的距离等于曲线C2:x2(y4)22到直
6、线l:yx的距离,则实数a_.解析:求出曲线C1到直线l的距离和曲线C2到直线l的距离,建立等式,求出参数a的值曲线C2:x2(y4)22到直线l:yx的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差,即dr,由yx2a可得y2x,令y2x1,则x,在曲线C1上对应点P,则曲线C1到直线l的距离即为点P到直线l的距离,故,可得2,a或a,当a时,曲线C1:yx2与直线l:yx相交,两者距离为0,不合题意,故a.答案:三、解答题10设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点(1)若BFD90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(
7、2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值解析:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|2p,圆F的半径|FA|p,由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d4,即2pp4,解得p2(舍去),p2.所以F(0,1),圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|,所以ABD30,m的斜率为或.当m的斜率为时,由已知可设n:yxb,代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点,故p28p
8、b0,解得b.因为m的截距b1,所以3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值也为3.11如图,椭圆E:1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4相交于点Q,试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由解析:方法一:(1)因为|AB|AF2|BF2|8,即|AF1|F1B|AF2|BF2|8,又|AF1|AF2|BF1|B
9、F2|2a,所以4a8,a2.又因为e,即,所以c1,所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m0且0,即64k2m24(4k23)(4m212)0,化简得4k2m230.(*)此时x0,y0kx0m,所以P.得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上设M(x1,0),则0对满足(*)式的m,k恒成立因为,(4x1,4km),由0,得4x1x30,整理,得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x11.故存在定点M(1,0
10、),使得以PQ为直径的圆恒过点M.方法二:(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m0且0,即64k2m24(4k23)(4m212)0,化简得4k2m230.(*)此时x0,y0kx0m,所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上取k0,m,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x2)2(y)24,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取k,m2,此时P,Q(4,0),以PQ为直径的圆为22,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0)所以若符合条件的点M
11、存在,则M的坐标必为(1,0)以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以,(3,4km),从而有330,故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.12如图,椭圆C0:1(ab0,a,b为常数),动圆C1:x2y2t,bt1a.点A1,A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2y2t与C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明:tt为定值解析:(1)设A(x1,y1),B(x1,y1),又知A1(a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y(xa),直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故1,从而yb2,代入得1(xa,y0)(2)设A(x2,y2),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x1|y1|4|x2|y2|,故xyxy.因为点A,A均在椭圆上,所以b2xb2x.由t1t2,知x1x2,所以xxa2,从而yyb2,因此tta2b2为定值