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1、-浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用课程设计、毕业论文学院：专业：年级: 指导教师：学生：日期：目录浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用1课程设计、毕业论文1浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用31.引 言52.根本容63.预备知识72.1 定义172.3 行列式计算中的几种根本方法82.3.1 三角形法82.3.2 加边法或升级法92.3.3 递推法或数学归纳法104.行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式11定义2113.1 Vandermonde行列式的证法113.2 Vandermonde行列式的性质123.2.1 推广的性质定理1
2、23.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件143.2.3 Vandermonde行列式的偏导数.143.3 Vandermonde行列式的翻转与变形.1634 Vandermonde行列式的应用173.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用.173.4.2 如何利用Vandermonde行列式计算行列式173.4.3 Vandermonde行列式在多项式理论中的应用215.小结236.参考文献:247.致 25. z-浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘 要：介绍了n阶德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了德蒙行列式
3、,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的根底.关键词：德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用Analysis on the related properties of Vandermonde determinant and its applicationSimplified and Abstract: the orde
4、r n Vandermonde determinant is defined by recursion method and Laplace theorem two methods proved the Vandermonde determinant, supplemented by case study of it in Higher Algebra in some applications. Vector space theory is used to solve the linear problem in linear transformation theory, theory of p
5、olynomial calculus theory, mainly use it to construct a linear equation group, and then apply the Cramer rule or related theorem is used to estimate root; in the determinant calculation, mainly using the Vandermonde determinant conclusion n-order determinant calculation process. To e*plore the Vande
6、rmonde row of history and related applications for further studying their properties and application has laid a good foundation.Key words: Van Redmond determinant; vector space; linear transformation; application1. 引言德蒙德行列式的标准形式为：即n阶德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据德蒙行列式的特点，可以将所给行列式化为德蒙德行列式，然后利用其结果计算。德蒙行列式就是在
7、求线形递归方程通解的时候计算的行列式.假设递归方程的n个解为a1,a2,a3,.,an则德蒙行列式如右图所示：共n行n列用数学归纳法. 当n=2时德蒙德行列式D2=*2-*1德蒙德行列式成立 现假设德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n列起用后一列减去前一列的*1倍,然后按第一行进展展开,就有Dn=(*2-*1)(*3-*1).(*n-*1) (*i-*j)其中 表示连乘符号,其下标i,j的取值为n=ij=2于是就有Dn= (*i-*j)(下标i,j的取值为n=ij=1),原命题得证.注明：Dn*2-*1)(*3-*1).(*n-*1)Dn-1本文通过在行列式根本
8、性质了解的根底上，进一步探讨一种特殊的行列式Vandermonde行列式的相关性质及其应用。2. 根本容德蒙德行列式的标准形式为:即n阶德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据德蒙德行列式的特点,可以将所给行列式化为德蒙德行列式,然后利用其结果计算。常见的方法有以下几种。1利用加边法转化为德蒙行列式例1:计算n阶行列式分析:行列式与德蒙行列式比拟。例：缺行的类似德蒙行列式 1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2a4 b4 c4 d43. 预备知识行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中,时至今日行列式理论的应用却远不如此,它在消元论、矩阵论等诸多问题中都有广泛的应用
9、,它是高等代数中的一个重点和难点,是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的根底。在行列式理论中,Vandermonde行列式以其独特的性质及其应用，我们有必要回忆一下行列式的相关知识。2.1 定义1行列式是由个元素数(=1,2,)排成行列并写成 (1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： 每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,的一个排列。 每项应带正号或负号，以1,2,的顺序为标准来比拟排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以应带正号；而中(213)的逆序为
10、1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。2.2 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 交换行列式的两行列，行列式改变符号。性质3 如果一个行列式有两行列完全一样，则这个行列式等于0。性质4 把一个行列式的*一行(列)的所有元素同乘以*一个数,等于以数乘这个行列式。性质5 一个行列式中一行列所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质6 如果一个行列式中有一行列的元素全部是0，则这个行列式等于0。性质7 如果一个行列式有两行列的对应元素成比例，则这个行列式等于0。性质8 设行列式的第行元素都可以表示成,则等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都
11、和的一样。同样的性质对于列来说也成立。性质9 把行列式的*一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行列的对应元素上，行列式不变。2.3行列式计算中的几种根本方法三角形法就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上下三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1计算级行列式.分析 该行列式具有各行列元素之和相等的特点.可将第列行都加到第一列行或第列行加到第列(行)，则第1或列行的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.解 加边法或升级法例2计算级行列式 分析 该行列式的各行列含有共同的元素可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列称为升级发或加
12、边法，适中选择所增加行或列的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.解 递推法或数学归纳法 例3计算级行列式 分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行列或第行列展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解 直接递推不易得到结果按低级是可以的，变形得4. 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式定义2我们把型如=的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示这个数码的所有可能，因子共项的乘积。3.1 Vandermonde行列式的证法方法一、消元法证：从第行开场，每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有=1按行列式首项展开得到(2)注意到行列式2
13、是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来。重复用上述方法对进展求解，经过有限步可以得到：=()()=即证。方法二：数学归纳法证：当时,成立。假设对于阶成立，对于阶有：首先要把降阶，从第n行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进展展开，就有，于是就有=，其中表示连乘，的取值为，原命题得证。方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。3.2 Vandermonde行列式的性质推广的性质定理：行列式= = (k=0,1,2n-1),其中是中个数的一个正序排列。表示对所有阶排列求和。 证：i在行列式中增补第行和列相应的元素考虑阶Vandermonde行列式= =(*) (ii)
14、由(*)式的两端分别计算多项式中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在(*)式右端，由多项式计算为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为，其中是1，2中个数的一个正序排列，表示对所有阶排列求和。iii比拟中项的系数，计算行列式，因为(*)式左右两端项系数应该相等，所以 即 * 定理得证。利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。特别，当时，令=1，*式即为Vandermonde行列式V。例4 计算准Vandermonde行列式 解 由定理，=6,=3,所以=.一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是中至少有两个相等. Vandermonde行列式的偏导数.定理 ，由Vandermonde行列式的定义知，是的元函数.例5设是个两两互异的数，证明对任意个数，存在唯一的次数小于的多项式，使得，.证 从定义容易看出的次数小于，且，故只需证明唯一性即可.设满足，即，这个关于的线性方程组系数行列式为，故是唯一的，必须. 这就是有名的拉格朗日插值公式。例6设是个复系数多项式，满足. 证明： .证：设，取，分别以代入，可得，这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，因此.3
