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1、第63讲 两条直线的位置关系与对称问题【学习目标】1. 掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件 解决有关问题.2. 掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.A1B2=ABAEC或C羽1. 已知直线ax一勾一 1=0和直线xy+2=0互 相垂直，则a的值为()A. 1B.-33C. :D. 23【解析由题设可|K1=T,因此=-2,故 选D.2. 实数!=0是直线:一初+1=0和公一初+1=0 平行的 ()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件解析直线一0)+
2、1=0和2一2ay+1=0平行，则1K 一2a)一(一2a)=0，得=0.而=时，直线+1=0与r+1=(平行，故选3.已知直线 l： x-y-1 = 0, l1： 2x-y-2=0,若 直线l2和l关于直线l对称，则12的方程是()A. x-2y+1=0B. x-2y-1 = 0C. x+y-1 = 0D. x+2y-1 = 0【解析】设A(x，y), 4(号y)分别是直线2、4 上关于1对称的点.【知识要点】1.两直线的位置关系的判定方法一：设直线 l1： A1x+B1y+C1=0, l2： A2x+By+ C2=0(A1 B1 不同为0； A2、B2不同为0).AB 越 Ba b(1)
3、l1与12相交台一(3)l1 与 12 重合台_A1B2 = A 2B1且A1C = A 2 C1(或 B1C2 = B 2。1祯】=B 】=C 】)222方法二：若直线和2存在斜截式方程 yfc1x+1， 2：y=kxb2,则(1)直线l2的充要条件 .(2晅线-12的充要条件 .若j的斜率都不存在，则2.若和2中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜瘁为 则 .2点到直线的距离，两条平行线的距离 22 1-亦尹会)，特况:l1l222叫2+B1B2=0.(2与12平行&y y 1=1X1Xxx1yy11=0221 0，求归1又点由啊，了在直线上，则吃2=0 将代入得2(y+1)(X1)2=0，
4、即X2y 1= 0,故选B.4.直线j x+y=0, 12： 3X-y-6=0和x轴围成的三 角形的面积等【解析】由|xy=Vft得* 23 ，又直线应一y60v=3ly2l1与x轴相交于点0(0,0),宜线12与x轴相交于点 13(2,0)，从而围成的三角形的面积S=2X2X|2|_3=2.(1) 设点P(x 律 +线*Cx+By+c=0,则P到l的距离：d= A2+B2;(2) 两条平行直线l : Ax+By+C =0, l : Ax+By1iqc2i 2+C2=0之间的距离：d=_A2土更一(匕和l2的方程必 须满足一次项对应系数-相 同L_).3.中心对称设平面上的点 M(a, b)、
5、P(x, y)、P (x, y)，若满足： = a,史芝一=b，那么，我 们称P、P 两点关于点 M对称，点M叫做对称 中心.(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x,y)关于M(x0,y0)的对称点P的坐标是(x , y),则：x = 2 x 0 一 xy = 2y 0 一 y4.轴对称(2) 由 -33x0= 134,y 0= 132x 3y+ 1 = 0 解得3 x 2y 6 = 0_6_x 1= 1330y 1 = 135.已知两点(3,2旦电(一1,4)|塑新7勺+3=0的距【解析】由题设 =，即I3m+5I=离相等，则实麴的m2+_一m2士 1Im71,m=6.一、对称问题例1 已知
6、直线：2r-3y+1=0. 点4(-1,-2).求:(1)点A关于直线的对称点A的坐标；(2) 直物：3r-2y-6=0关于直蜘的对称直线m的方 程.【解析】设A (x0, y0)和A( 1， 2)关于直 线l对称.32= 1X 0+131x 1 v 22 02 3 02 + 1 = 0即A 的坐标为(一 33, 13).x= 4y=3，即直线l与m的交点B(4,3)在直线又在直线 m: 3x 一 2y 一 6 = 0上取一点P(2,0), 设P(2,0)关于2x一3y+1 = 0的对称点为P (x 1, y 1),y 1 2= 1x 12312亨-斗1 = 0P(条，30).由对称性可知P
7、(13,晋在直线m上.3 迎从而直线m 的方程为y 3 =?x 4),4 一 13即 9x 46y + 102 = 0.三、距离公式和直线系及应用例3已知直线l经过直线2x +y5=0与x2v=0的交 点.(1) 若点A(5,0)J距离为3,求1的方程；(2) 求点A(5,0)到l的距离的最大值.(1) 设平面上有直线l： Ax+By+C=0,和两点P(x, y)、P (x，y)，若满足下列两个条件： PP直线l；PP的中点在直线l上 则点尸、P关于直线/对称.(2) 对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时的对称问题可直接通过代换法 得解： 关于工轴对称(以一了 代/)； 关于y轴对称(
8、以一x代_*_)； 关于丁=了对称(x、y互换)； 关于x+y=0对称(以一x*y_,以一y代_x_)； 关于了=口对称(以2a工_代_)； 关于7=万对称(以2，一y代_v_).(3) 对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点 P(x1, y1), 0(x2, y2)关于直线 l: Ax + By + C = 0(AB *)对称，贝。.，洗一明.=B晚阴.4A-竺土竺 +B- % +* +C=0.I .5.直线系(1) 4x+切+C=0平行的直线方程(包括原直线)：Ax+功?+4=0以为待定系数，4ER).+ Q =+ C2 = 0 的交点的
9、直线方程为：Si*+8j+G)+ a S许+方步+ q)= o( A ER&不包含直线42并的;+弓=0)，二、两直线位置关系及应用例2已知两条直线： ax-by+4=0和匕：(a-1)x+y+ b=0,求满足下列条件的a, b的值.2(巩 z ,且!过点(一3,-1)；121(2) ljl2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.【解析11由已知可l的斜率必存在，2,也=1 =0,贝 1 一a=0, a=1.Vl1l2，直线1的斜率必不存在，b=0.又l过点一3，1).a+b+4=0，艮b=3a4= 14不合题章.此种情况不存敬醐即.2【解析】(1)依题设可设l方程为(2x+y5)+人(x 2y
10、)=0,即(2+2)x+ (122)y5=0,则点4(5,0)到l的距离d= 忠+侦=3, (2r_AJ2T 1 2AJ2即 2252+2=0,求得 2=2 或 1，故l的方程为x=2或4x3y5=0.2x+y5=0x2y=0，若k20,即A】、k2都存在，.k2=1a, k1 =?, L t, b 12k *k = 1,即(1a)= 1 12b又 Vl过点(3,1),A3a+b+4=0. 由联立，解得a=2, b=2.Vl,的斜率存在，ll,直线4的斜率 存在，解得交点P(2,1).过点P任作一直线/,设d为A点到l的距离，则 dWIPAI,当lPA时，等号成立._ dmax= IPAI=i
11、(52)2+(01)2=10.四、直线位置关系的综合应用Ak1=k2,即|=1a.又.坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l2,.乂、l,在y轴上的截距互为相反数， 12例4已知条直线：匕：xy+c1=0, c1=, 12： xy+c2=0, 13： xy+c3=0,，l : xy+c =0(其 中c,Vc, 0法很自然，但运算量较大，解略.解法二:注意到l2与x轴、y轴分别交于4(2,0)、B(0,4),由l1与l2的交点P在第一象限，AB内(即不含二端点)，即P内分应若设P(x0, 了0)分应所成的比为22n(n +1) cn=2因为c = 2d，所以nn(2)设宜线ln： xy+c= 0
12、交x轴于M，交y轴于N, 1 则OMN的面积SA?MN = 2 n2( n+1)2 4,所以 s =皿(ne N*).n 4由(x02, y0)=2(x0,4y0)可得，知P在线段即AP=2PB._ 2x0=1+242,y0=1+2(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2用=2(；1)2知 _(n1)2n2Sn1=4,n2(n+1)2 (n1)2n2=n3.所以S S nn144故所求面积为n3(nN2, nN*).由点P在l1上有1+j=k1*2+k+2，-.3k+2.2解出2=n，由20,可得VkV2.2k3解法三：注意到l表示过定点M(1,2)且斜率 为k的直线系，而直线l2过A(2,0)、B(0,4)，于是由 图(图略)得445,由过两点的直线斜率公式 可得kMA =2 M32从而3VkV2.3MBkMB=2,
