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1、新教材适用北师大版数学第二章单元综合检测(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1在长方体ABCDA1B1C1D1中，等于()A BC D解析：.答案：A2若向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且bc0是l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直当ab时，由ca0且cb0得不出l；反之，由l一定有ca0且cb0，故选B.答案：B32014山东省济宁市质检已知向量a(2，3,5)与b(4，x，y)平行，则x，y的值分别为()A6和10 B6和
2、10C6和10 D6和10解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示因为向量a(2，3,5)与b(4，x，y)平行，所以，解得x6，y10，故选B.答案：B42014四川省成都七中期末考试已知直线l过点P(1,0，1)，平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()A(1，4,2) B(，1，)C(，1，) D(0，1,1)解析：本题主要考查平面的法向量因为(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.答案：D5已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则向量ab与ab的夹角
3、是()A90 B60C30 D0解析：因为|a|b|，所以(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，则(ab)(ab)答案：A6如右图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析：因为0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确答案：B7空间四边形ABCD的各边及对角线长均为1，E是BC的中点，则()AD与不能比较大小解析：如右图，易证AEBC，故0，
4、取BD中点F，连接EF，AF，则EFCD.在AEF中，AEAF，EF，得AEF是锐角，所以，是钝角，即，是钝角，所以0，故选C.答案：C8在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN90，则异面直线AD1与DM所成的角为()A30 B45C60 D90解析：建立如图所示坐标系设ABa，ADb，AA1c，则A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，N，M.CMN90，b2c20，cb.(b，0，b)b2b20，AD1DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90.答案：D92014陕西省高新
5、一中期末考试如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A BC D1解析：本题主要考查空间点到直线的距离过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，(1,2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因为，所以，解得，所以(，)，所以点B到直线A1C的距离|，故选B.答案：B102014安徽省合肥一中月考设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A(，)B(，)C(，)D(，)解析：
6、本题主要考查空间向量的基本定理因为G1是ABC的重心，所以()()(2)，因G是OG1上的一点，且OG3GG1，所以()(2)(2)，所以xyz，故选A.答案：A11在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A BC D解析：以A为原点建系，设棱长为1.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：B12如右图，四棱锥SABCD
7、的底面为正方形，SD底面ABCD.则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC面SDB，从而ACSB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正确；由排除法可知选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)132014清华附中月考在空间直角坐标系Oxyz中，已知A
8、(1，2,3)、B(2,1，1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_解析：本题主要考查空间直角坐标系中，直线与平面相交的交点坐标等基础知识设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得，所以点C的坐标为(，0，)答案：(，0，)142014湖南省长沙一中期末考试如图，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，E为BC中点，则等于_解析：本题主要考查求空间两向量的数量积因为E为BC的中点，所以()，因为在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，所以()()()0.答案：015如图，在平行六面体ABCDA1B1
9、C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，则对角线AC1的长度等于_解析：()222222216925243cos90245cos60235cos6050201585，|.答案：16正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如右图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平
10、面PAC所成的角为906030.答案：30三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，CM2MA，A1N2ND，且a，b，c，试用a，b，c表示向量.解：()()abc，abc.18(12分)已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使xyz，且xyz1.即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(
11、e1e2e3)比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组解得与xyz1矛盾，故四点不共面；(2)若向量，共面，则存在实数m，n使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c联立得到方程组：从中解得所以17530.19. (12分)2014陕西高考四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，B
12、DDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.20(12分)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱DS上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE
