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1、1. 晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子(离子)绕平衡位置的振动-晶格振动晶体的元胞数为N,原子质量为M,原子的位置：X, (t) = R + ut (t)气(t)则代表此原子的位移晶格振动的总动能T = 2二Mux y ,总势能为2+中M+ 1 中Suau 一 .0a I 2弗 1 1中为常数，是平衡位置时的势能。I. du a ) 10% (，/)=(d2中)I duaduP ) ，Z,0由于晶体的平移对称性ap(少= ap S) = pa郎(-()代表1元胞中原子沿P方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力 沿a方向的分量，称为力常数 中郎(-()=0 r因为当整体作刚性运动
2、(即每个原子均作u a= va )时，晶格中任一原子受到其 它原子作用力之总和为零；即F ()=竺=- 中(-,)u Padu a弗(P= -aP S土 =。P略去中展开的三次方H = T + 中 p a p a + 中 (l l )W a U P p a= M U a,al,a l,P由正则方程pa=巽lOU al可得系统的运动方程M$a=-%(ll叫l ,p利用平移对称性及布洛赫定理 U a = eik RU a对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：(1) 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。(2) 有特定的相位关系，按e ik Rl变化因此,每-确定的k的解代表波长为奇的集体振动，
3、称为格波令u a = U a对应于用波矢k标记的特解 Ua=_ D (k )UPa, P= % 乂 ZPD弗(k)三M 中弗(l)eikRl3x3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。l其对角化方程为 Da (k)eP =3 2eaP3为振动频率，由久期方程det II Dap (k) 3密邱|= 0可求出3个本征频率和本征向量 3=3(k); ek (。= 1，2,3)ek。满足正交性和完备性条件 U a ea ei3t结合以上方程可知：仟二N彳皿】 代表波矢为k、偏振为6频率为气(k)的格波解。在BZ中，一定时刻t的格波解N-2即eik勺称为简振膜。心根据正格矢与倒格矢之间的关系可得 气(k + K
4、,=气(k) 动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ内讨论即可。由于有N个不同的k，而每个k又对应3个本征值，因此有3N个简正模(或格 波解)，它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N维空间函数组。u a晶格振动的一般解：lea Qeik Rkbkb系数(包括e - k)t 因子)在固体物理学中称为简正坐标; ke代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。kb对于具有r个原子的复式晶格，本征频率=气(k)(。= 1,2,.,3r)e(s)Qeik，kbkb以上是晶格动力学的基本原理。2. 格波的特性1.气(k)的共性i)格波的本征频率是倒点阵的周期函数 气(k)=气(k + K )ii
5、) %(k)具有点阵所属点群的全部对称性 气(k)=气(ak) iii)存在一个普遍的关系式 气(k)=气(-k)它是时间反演对称性的结果。2.声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，切厂0特征的格波称为声学模。光学模：反之，当k=0时3。0的格波解称为光学模。可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模因为：D (k)三Z (/)e-ikrl%(k=0)三 M 如(i)=0l在复式晶格中，同时存在声学模和光学模E( k、Ds Je?(e)= P ,S，k，/其中s,s =1,r，代表元胞中不同的原子。格波频率由下式决定:det II D28a?% 11= 0(l e -ik 勺 a? S
6、, )(k、 叮S, S中a?82中 8ua (S)8u P (S ),、ll70同样，复式晶格的刚性位移不产生应力Zoapl ,s将k = 0时的D#代入本征方程可得3 ( S )b.双s=EqmS P ,l ,SaP二 I ks, seP (s)脾s如果某确定的b的解在长波限满足条件ea (s)ea (s)b-b s, s = 1,., rMs M同向运动则本征方程变为 2()bJmM sP2() = 0,声学模 b1-s -1由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动 每个k值有3个独立的b解属于声学模。在一般情况下()。0，即其它(3r-3)个。解属于格波的光
7、学模如果(s=1，2)，当bob时点的实极化矢量满足正交关系：=ee(I) + e(2)e，(2) = 0设b为声学模，由于对声学模有急=笔B -M1RlAk ,k b ,b2kb k b N其中A 8Zo(/paPS I M aPI k 6va vp 1=Z ea Z D (k )epk6aP k 6p=(乙 ea ea )w 2 (k) k6 k 66a那么 = 2( k) Q * Q26k 6 k 6k ,6晶格振动的哈密顿可简化为H = 1 Z ；q* Q +o 2(k)Q* Q2k6 k6 6k6 k6k ,6 IH在简正坐标中表示为3N个独立项之和；利用拉氏函数L = T - 可求
8、出。如的共轭动量VPPk66L=Q *k6H = 1Z p* P +o 2(k)Q* Q2k6 k66k6 k6k ,6根据正则方程P =k6dHQk6可求出简正坐标满足方程Q： + 3二Q6 = 0与简谐振子的运动方程在形式上相同。利用傅里叶变换Q = ,，M Z (e u )e-沃叫k6 Nk61T 11 Z 、=-(ea ua )eik RXNMk 11 ,aP = Z (e p )e k略k6 NMk611 Z、= ,-J (ea pa )e ikRV NM 1 ,a显然简正坐标Q和其共轭动量P均为集体坐标。 k4. 声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量汽,吁满足对易关系
9、pa , U P = pa U P - U P pa = 8 8l l l l l l i aP llua , u P = pa , p P = 0(a, P = x, y, z)l ll l一次量子化那么容易求得简正坐标的对易律：1 YY ,P , Q ,=函 J J (ea e P ) p a, U P eigk、%)l ,l a, Pzia力ei (kk ) R1Y(ea ea )七ke k a NlQ如,Qk e = Pke, pe = 0由于（P，Q）为复共轭量，因此，H哈米顿中2（Pe pke+*）Q；e Qke）并不对应量子力学中频率为气（k）的简谐振子哈密顿量L(p2 +O 2
10、q2)， 2因为（p，q）为实量。晶格振动的哈密顿可进一步写成： H = 1Y p P +o 2(k)Q Q2-ke ke e-ke kek Q为了消除H中k和-k的交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符akba+kb冬(e - J： 2方kbi(k)b冷（Q： 2方 七P+ kb（二次量子化）经计算可得哈密顿H = Z a + a +1 扁I kb kb2)k ,c(k ) = Hk ,bkb对易关系为akb，akb8 bb kka , a = a+ , a+ = 0（玻色对易关系）其时间依赖关系可利用海森堡运动方程akb=H, a = iw (k)a方kbbkb=a (0)e iw
11、b(k)t位移矢量可表示为Ui =2NMw (k)k ,b、b 7=方I 2NMw (k)k ,b、b 71/2 e aeik鸣 + a + e-ik町)kbkbkb1/2 e a(0)e( k & k )t + h.c.)kb kbh.c.代表厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率（k）偏振e沿k方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是H kbkb定态薛定谔方程甘丹其中H kbH P = pkb kbkb kb=a + a* kb kb1Y + 方(k) 2 )进一步可得方w (k)a+ ab Pk = ek - 2 方w (k)Pk三&中kb kb暂时略去（k，b）方wa+ap =e p下面讨论上面算符方程的基态和激发态（i）基态
