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1、运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。（1）max 5+1050+14，0（2）min z=+1.5+33+2，0（3）max z=2+2-1-0.5+2，0（4）max z=+-03-3，0解：（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。（1）min z=-3+4-2+54-+2-=-2+3-14-2+3-+22，0，无约束（2）max 0 (i=1n; k=
2、1,m)（1）解：设z=-,=-, ,0标准型：Max =3-4+2-5(-)+0+0-M-Ms. t . -4+-2+-+=2+3-+=14-2+3-+2-2-+=2,0 初始单纯形表:3-42-5500-M-Mb-M2-41-21-100012014113-11100014-M2-23-12-20-1102/3-4M3-6M4M-42-3M3M-55-3M0-M00(2)解：加入人工变量，得：Max s=(1/)-M-M-.-Ms.t. (i=1,2,3,n)0, 0, (i=1,2,3n; k=1,2.,m)M是任意正整数初始单纯形表：-M-M-Mb-M110011000-M101000
3、00-M1001000111-snM0001.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。（1）max z=2+3+4+7 2+3-4=8 -2+6-7=-3,0(2)max z=5-2+3-6+2+3+4=72+2=30（1）解：系数矩阵A是：令A=(，)与线形无关，以（，）为基，为基变量。有 2+3=8+4 -2=-3-6+7令非基变量，=0解得：=1；=2基解=（1，2，0，0为可行解=8同理，以（，）为基，基解=（45/13，0，-14/13，0是非可行解；以（，）为基，基解=（34/5，0，0，7/5是可行解，=117/5；以（
4、，）为基，基解=（0，45/16，7/16，0是可行解，=163/16；以（，）为基，基解=（0，68/29，0，-7/29是非可行解；以（，）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；最大值为=117/5；最优解=（34/5，0，0，7/5。（2）解：系数矩阵A是：令A=(，)，线性无关，以（，）为基，有：+2=7-3-42+=3-2令 ，=0得=-1/3，=11/3 基解=（-1/3，11/3，0，0为非可行解；同理，以（，）为基，基解=（2/5，0，11/5，0是可行解=43/5；以（，）为基，基解=（-1/3，0，0，11/6是非可行解；以（，）为基，基解=（0，2，
5、1，0是可行解，=-1；以（，）为基，基解=（0，0，1，1是=-3；最大值为=43/5；最优解为=（2/5，0，11/5，0。1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。（1）max z=2+ 3+515 6+224，0（2）max z=2+542123+218，0解：（图略）（1）max z=33/4 最优解是(15/4,3/4)单纯形法：标准型是max z=2+0+0s.t. 3+5+=15 6+2+=24 ,0单纯形表计算：2100b0153510502462014-z0210003041-1/23/42411/301/612-z-801
6、/30-1/313/4011/4-1/8215/410-1/125/24-z-33/400-1/12-7/24解为：（15/4，3/4，0，0 Max z=33/4迭代第一步表示原点；第二步代表C点（4，0，3，0；第三步代表B点（15/4，3/4，0，0 。（2）解：（图略） Max z=34 此时坐标点为（2，6）单纯形法，标准型是：Max z=2+5+0+0+0s.t. +=4 2+=12 3+2+=18,0(表略)最优解 X=（2，6，2，0，0 Max z=34迭代第一步得=（0，0，4，12，18表示原点，迭代第二步得=（0，6，4，0，6，第三步迭代得到最优解的点。1.5以1.4
7、题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。解：目标函数：max z=+(1)当0时 =-（/）+z/ 其中，k=-/=-3/5，=-3l k 时， ，同号。当0时，目标函数在C点有最大值当0时，目标函数在原点最大值。l k时，同号。当0， 目标函数在B点有最大值；当0，目标函数在原点最大值。l k 0时， 同号。当0时，目标函数在A点有最大值当0时，目标函数在原点最大值。l k 0时， ，异号。当0， 0时，目标函数在A点有最大值；当0， 0时，目标函数在C点最大值。l k= 时， 同号当0时，目标函数在AB线断上任
8、一点有最大值当0，目标函数在原点最大值。l k= 时， 同号。当0时，目标函数在BC线断上任一点有最大值当0时，目标函数在原点最大值。l k=0时，=0当0时，目标函数在A点有最大值当0，目标函数在OC线断上任一点有最大值（2）当=0时，max z= l 0时，目标函数在C点有最大值l 0时，目标函数在OA线断上任一点有最大值l =0时，在可行域任何一点取最大值。1.6分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性问题，并指出属于哪类解。（1）max z=2+3-5+152-5+24，0（2）min z=2+3+4+283+26，0（3）max z=10+15+125+3+9-5+6+1515
9、2+5，0（4）max z=2-+2+6-2+22-0，0解：（1）解法一：大M法化为标准型：Max z=2+3-5-M+0-Ms.t. +=7 2-5+-+=10,0 M是任意大整数。单纯形表：23-5-M0-Mb-M71111007-M102-510-115-z17M3M+23-4M2M-50-M0-M207/21/211/2-1/24/7251-5/21/20-1/21/2-z2M-100(7/2)M+80.5M-600.5M+1-1.5M-134/7011/72/71/7-1/7245/7106/75/7-1/71/7-z-102/700-50/7-M-16/7-1/7-M+1/7最优
10、解是： X=（45/7，4/7，0，0，0 目标函数最优值 max z=102/7有唯一最优解。解法二：第一阶段数学模型为 min w= + S.t. + + =72 -5 + - + =10,，,0（单纯形表略）最优解X=（45/7，4/7，0，0，0 目标函数最优值 min w=0第二阶段单纯形表为：23-50b34/7011/71/7245/7106/7-1/7-z-102/700-50/7-1/7最优解是X=（45/7，4/7，0，0，0 Max z=102/7（2）解法一：大M法=-z 有max =-min （-）=-min z化成标准形：Max =-2-3-+0+0-M-MS.T.
11、 +4+2-+=4 3+2-+=6 ,，,，0（单纯性表计算略）线性规划最优解X=（4/5，9/5，0，0，0 ，0 目标函数最优值 min z=7非基变量的检验数=0，所以有无穷多最优解。两阶段法：第一阶段最优解X=（4/5，9/5，0，0，0，0 是基本可行解,min w=0第二阶段最优解（4/5，9/5，0，0，0，0 min z=7非基变量的检验数=0，所以有无穷多最优解。（3）解：大M法加入人工变量，化成标准型：Max z=10 +15 +12 +0 +0 +0 -M s.t. 5 +3 + + =9 -5 +6 +15 + =15 2 + + - + =5 ,，,，0单纯形表计算略当所有非基变量为负数，人工变量=0.5，所以原问题无可行解。两阶段法（略）（4）解法一：大M法单纯形法，（表略）非基变量的检验数大于零，此线性规划问题有无界解。两阶段法略1.7求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界；Max z=+其中：，解：l 求Z的上界Max z=3+6s.t. -+212 2+414，0加入松弛变量，
