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1、- 一元二次方程与二次函数提高训练题1、关于的一元二次方程有实数根，为正整数.1求的值；2当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；3在2的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的局部沿轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象答复：当直线与此图象有两个公共点时，的取值围. 解：1由题意得，为正整数，2当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为AO*y864224B3设二次函数的图象与
2、轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如以下图当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值围为2、：关于的一元二次方程1假设求证：方程有两个不相等的实数根；2假设12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值证明： 方程有两个不相等的实数根。 2方程有两个整数根，必须使且m为整数又12m40，59m=24 3、: 关于*的一元一次方程k*=*+2 的根为正实数，二次函数y=a*2b*+kcc0的图象与*轴一个交点的横坐标为1. 1假设方程的根为正整数，求整数k的值； 2求代数式的值；3求证: 关于*的一元二次方程a*2b*+c=0 必有两个不相等的实数根.解：由 k*=*+
3、2，得(k1) *=2.依题意 k10. 方程的根为正整数，k为整数, k1=1或k1=2. k1= 2, k2=3. 2解：依题意，二次函数y=a*2b*+kc的图象经过点1，0， 0 =ab+kc, kc = ba . =3证明：方程的判别式为 =(b)24ac= b24ac. 由a0, c0, 得ac0.( i ) 假设ac0. 故=b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. ( ii ) 证法一: 假设ac0, 由(2)知ab+kc =0, 故 b=a+kc.=b24ac= (a+kc)24ac=a2+2kac+(kc)24ac = a22kac+(kc)2+4kac4ac=(ak
4、c)2+4ac(k1). 方程k*=*+2的根为正实数， 方程(k1) *=2的根为正实数.由 *0, 20, 得 k10. 4ac(k1)0. (akc)20, =(akc)2+4ac(k1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 假设ac0, 抛物线y=a*2b*+kc与*轴有交点, 1=(b)24akc =b24akc0.(b24ac)( b24akc)=4ac(k1). 由证法一知 k10, b24ac b24akc0.= b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根.4、 ：关于的一元二次方程1求证：不管取何值，方程总有两个不相等的实数根；
5、2假设方程的两个实数根满足，求的值1不管取何值，方程总有两个不相等实数根 2由原方程可得 又 经检验：符合题意的值为45关于的一元二次方程 (1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线求抛物线的解析式；(3)点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值1证明：， 1分 而，即. 无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.2分2解：当时，.，即.，. 3分抛物线的解析式为.抛物线的顶点为.抛物线的顶点为.抛物线的解析式为. 4分3解：点A
6、，和B，都在抛物线上，且.A、B两点不重合，即，. 5分，6分. 7分6、已抛物线为实数。1为何值时，抛物线与轴有两个交点.2如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：1由有，解得且 2由得C0，1又或或6、如图，抛物线，其中、分别是ABC的A、B、C的对边。1求证：该抛物线与轴必有两个交点；2设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，假设抛物线的对称轴为，MNE与MNF的面积之比为51，求证：
7、ABC是等边三角形；1，2由得 由得： 设E，F，则：， 由51得：或 由知应舍去。 由解得，即或舍去ABC是等边三角形。7、抛物线与y轴交于点C，与*轴交于点,，顶点M的纵坐标为-4，假设是方程的两个根，且(1)求A，B两点的坐标2求抛物线的解析式和点C的坐标3在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积等于四边形ACMB面积的两倍.假设存在，求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由。1、因为*1，*2是方程*22(m1)*m270的两个根所以*1*22(m1) ，*1*2m27又因为(*1)2(*2)210所以(*1*2)22*1*210即2(m1)22(m27)10整理得：m24m4
8、0所以m2代入*22(m1)*m270 得*22*30解得*11，*23所以A、B的坐标为：A(1，0)，B(3，0)2、把A、B坐标代入ya*2b*c，得abc09a3bc0因为抛物线ya*2b*c顶点M的纵坐标为4所以(4acb2)/(4a)4上述三式组成方程组，解得a1，b2，c3 (a0不合，已舍去)所以抛物线的解析式是y*22*3当*0时，y3所以C点坐标是(0，3)3、抛物线y*22*3的顶点是M(1，4)，AB3(1)4设点P的坐标为(*，y)SPABAB*|y|/24*|y|/22|y|过M作MN*轴，交*轴于N点，则S四边形ACMBSAOCSBNMS梯形MNOC1*3/2(3
9、1)*4/2(34)*1/29假设SPAB2SPAB则有2|y|2*918所以|y|94，所以P在*轴的上方所以y9所以9*22*3即*22*120解得*113所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，坐标为：P1(113)，9，P2(113)，9课后练习、1、关于的方程1求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.2假设关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.1证明：当时，方程为，所以 ，方程有实数根. 1分当时, = = =2分 所以,方程有实数根综所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 3分2令，则 解关于的一元二次方程，得 ，5
10、分二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数， 所以只能取1，2 所以抛物线的解析式为或7分2、抛物线。1求证：不管为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；2设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。解析：1，由，可得证。2又 解得或舍去3、.关于*的二次函数y=*2+2k-1*+k2-11假设关于*的一元二次方程*2+2k-1*+k2-1=0的两根的平方和等于9， 求k的值，2在1的条件下，设这个二次函数的图象与*轴从左至右交于A、B两点问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角AMB的面积等于3假设存在，请
11、求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由；3在1、2条件下，假设P点是二次函图象上的点，且PAM=90，求APM的面积4、二次函数y=*2+2*+m的图象C1与*轴有且只有一个公共点1求C1的顶点坐标；2将C1向下平移假设干个单位后，得抛物线C2，如果C2与*轴的一个交点为A3，0，求C2的函数关系式，并求C2与*轴的另一个交点坐标；3假设Pn，y1，Q2，y2是C1上的两点，且y1y2，数n的取值围。1y=*2+2*+m=*+12+m-1，对称轴为*=-1，与*轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C1的顶点坐标为-1，0；2设C2的函数关系式为y=*+12+k，把A-3，0代入上式得-3+12+k=0得k=-4，C2的函数关系式为y=*+12-4，抛物线的对称轴为*=-1，与*轴的一个交点为A-3，0，由对称性可知，它与*轴的另一个交点坐标为1，0；3当*-1时，y随*的增大而增大，当n-1时，y1y2，n2；当n-1时，Pn，y1的对称点的坐标为-2-n，y1，且-2-n-1，y1y2，-2-n2，n-4，综上所述：n2或n-4。. z.
