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1、定积分的应用复习题一填空:1 曲线y ln x, y In a, y In b(0 a b)及y轴所围成的平面图形的面积ln b为 A =. eydy =b-aIn a J2.曲线yx2和y、匸所围成的平面图形的面积是1计算题:1 .求由抛物线y2 = 2x与直线2x + y -2 = 0所围成的图形的面积 解：(1 )确定积分变量为y，解方程组y2 2xx 1/2x2 2得,y 2x 2% 1y221 一即抛物线与直线的交点为(，1)和(2，- 2 ).故所求图形在直线y = 1和y =2-2之间，即积分区间为2, 1 。(2)在区间2 , 1 上，任取一小区间为y , y + dy ，对应
2、的窄条面积11近似于高为(1 y) - y2 ,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素22dA =(1 1 21-2y)- 2y dy所求图形面积 A =12 (1- -y) -ly2 dy = y -1 y2 - -y312=-224642 求抛物线y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0, - 3 ）和（3, 0）处的切线所围成的图形的面积。解：由 y = - x 2 + 4x -3 得 y 2x 4, y（0）4,y（3）2。4 .求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积:r = 3 cos 及 r = 1 +cos解：两曲线的交点由r 3cosr 1 cos,解得 3及3 r
3、-233r -2故A = 2cos )2d弓(3cos3厶)2d抛物线在点（0 , - 3 ）处的切线方程为y=4x-3 ;在点(3,0）处的切线方程为y = - 2x + 6 ;两切线的交点坐标为3 (-2,3 )。故面积A =32302(4x 3) (x2 4x 3) dx3(022x6) (x24x93) dx43 求由摆线x = a (t -si nt) , y = a( 1- cost)的一拱（0 t 2 ）与横轴所围成的图形的面积。2a2解: A0y(x)dxa(1 cost)0a(1 cost)dta2 : (11cos2t2 a2cost)dt 32(12cos1 cos2 x
4、 , )d(1cos2 )d545 计算由摆线 x = a (t -sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱(0 t2），直线y = 0所围成的图形分别绕x轴、丫轴旋转而成的旋转体的体积。解：Vxa 2y2(x)dx:a2(1 cost)2 a(1 cost)dt2aVy0(13costx；(y)dy2 a2(t st)23cos2t cos2a 2oxjy)dyasintdtt)dta2(t5 2a3sint)2 asintdt(t sint)2sintdt 6 3ax轴旋转而成的旋转体的体积。6 .求由x2 + y 2 = 2和y = x 2所围成的图形绕22解：（1）取
5、积分变量为x,为求积分区间，解方程组：/ y 2， y xx 1 x 1得圆与抛物线的两个交点为所以积分区间为-1 , 1。y 1，y 1，（2）在区间-1，1上任取一小区间x, x+dx，与它对应的薄片体积近似于（2 - x2）-x4 dx ,从而得到体积元素dV = (2 - x2) - x4dx(2 - x 2- x4) dx.(3 )故 Vx =11 (2 - x 2- x4) dx =44157 求圆盘（x 2）2 y21绕Y轴旋转而成的旋转体的体积解设旋转体积为V，则V2*2：x,1 (x 2)2dx2 sint 则V=42 (2 sin t)cos21 dt22 (1 cos2t
6、)dt2 sint cos2 tdt21(t 2sin2t)|28 .设有抛物线C: y = a -bx2 （ a 0 , b 0 ），试确定常数a , b的值，使得C与直线y = x + 1 相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积 达到最大。解：设切点坐标为（x , y ）,由于抛物线与y = x + 1 相切,故有 K = - 2bx = 1 ,12bV(a)V(a)丄22bx2dy12b解得14b即：b14(1 a)a(2 3a)dy2a2ba2(1a)3.x a cos t9 .设星形线方程为3 ( a 0 )，求:y asin t(1)由星形线所围图形的面积(2)星形线的
7、长度解：(1)由对称性得aA 4 o y(x)dx:asin3t223acos t( sint)dt12a202sin4tcos2tdt(2)L = 4 2 x2(t)y2(t) dt= 4 x ( 3acos21 sint)2 (3asin2t cost)2 dt=12a 2 si nt cost dt 6a0t cost sin10 计算曲线xd , yd自原点到与具有铅直的切11线最近点的弧长。dy sint解:女乎ttantdxdx costdtt曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为t -，原点对应的参数t = 1s =x2(t) y2(t) dtcostsintdtI
8、n tln211 .设Si为曲线y = X 2、直线y = t2 (t为参数)及丫轴所围图形的面积；S2为曲线y = x 2、直线y =:t 2 及 X =1所围图形的面积。问t为何值时，SS1+S 2取得最大值、，最小值。解：S(t)t 2(t20x2)dx1 2 t(Xt2)dx4 32-t3 t2313令 S(t)4t22t 0 ,解得t10 ,t212于是S(0)，s)1-,S(1)23243故 Smax =2c11S(1)=,Smin=岂匚)三证明题:2x2+ y 2 = 2的周长。1.证明：曲线y = sinx的一个周期的弧长等于椭圆证明：y = sinx 的一个周期的弧长y2 dx20cos2x dx椭圆2x2+y2x22y(J2)21化为参数方程为x costy 2 si nt(0 t42x2(t) y2(t)dt其弧长为L2 =of 2cos21 dt 4 02 “ cos21 dt故 Li = L 2感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考
