波利亚怎样解题实例分析

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1、怎样解题 一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知 相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、 概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用 已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定 理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定 理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？

2、2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例 1、已知：如图，在 ABC中，AB=AC求证：ZB二ZC分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：ZB二ZC问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的

3、定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求ZB=ZC,在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角 平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没 有出现，是不是能引入辅助元素？观察ZB.ZC所处的位置，平行线、角平分 线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中ZB、 ZC处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将ZB、ZC分别处于两个三角形中

4、，可在A 点引下一条线与BC相交。B2、新问题出现了：如何证明/ABD竺/ACD?答：已知中含有AB=AC，从图中可 得AD=AD，尚缺少一个条件。3、新问题：加入什么条件就可以了？答：ZBAD=ZCAD，可利用角边角进行判定。 或BD=CD，可利用边边边进行判定。或AD丄BC，可利用直角三角形的全等的判定 进行判定。4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。 如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。到此，此题可解。问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前

5、没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结 论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放 到两个三角形中，然后找全等的条件。例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：能直接运用公式（一色，仏 &2 ）求解。2a4a问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题

6、有什么特点呢？答:此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。例3、已知：如图，在 ABC中，AB=5，AC=3, D为BC中点，求AD取值范围。问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求AD的取值范围。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在 ABC 中，AB=5，AC=3，D 为 BC 中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是AB、AC,所属三角形为 ABC，而所求AD边长

7、所属是 ACD或厶ADC。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：已知中的边长为AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边 联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线 段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长AD至E,使 AD=AE,则可出现厶ACDEBD,可得 AC二BE，贝则 2AE&可得 1AD4。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。2、当条件分散时，可向定理集中。例4、 已知：如图，AABC中，BF平分ZABC，CF平分ZACB

8、，EDBC，求证： DE=BE+CD问题1、未知是什么？你能复述它吗? 答：线段DE的长等于EF与FD的和。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF,平行线DE平行于BC。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：角分线定理,平行线性质。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：从图中可得,此题角平分线与平行线有重合部分。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得ZCBF=ZEBF,根据平行线性质可得ZCBF=ZEFB, 进而可得ZEFB=ZCBF,可以得到等腰三角形

9、EBF,可得BE二EF。根据对称原则可 得CD=FD。进而此题可解。问题7、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢？ 答：1、有角平分线和平行线,可得等腰三角形。2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。例6、已知X =1是一元二次方程x2 +mx+n=0的一个根，则m 2 +2mn+n 2的值。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m 2 +2mn+n 2的值。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：x =1是一元二次方程x2 +mx+n=0的一个根。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：不能直接运用公式求解。问题5、你

10、能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：不能。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：根据方程根的含义可知12 +1Xm+ n = 0,进而可得m+n=0。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为m2 +2mn+n2 = (m+n) 2，即若知m+n 的值可得未知。到此，此题可解。例7、如图，在四边形ABCD中，已知AB = CD, M、N、P分别是AD, BC的中点，斤ZBDC=70o，cosZABD，求ZNMP 的度数。2问题1、未知是什么？

11、你能复述它吗？答：求ZNMP的度数。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AB = CD，M、N、P 分别是 AD，BC 的中点，ZBDC=70。，cosZABD二竺。2问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直 接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？/3答：1、由中位线定理可知，AB=2MP； cosZABD二可知ZABD=30o；进而可得Z2MPD=30o；2、由中位线定理可知DC=2NP；由ZBDC=70o，可知ZBPN=70。；进而可得ZNPD=11

12、0o ；进而可得 ZMPN=14Oo；3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP二NP；进而可知MP二NP；进而可得ZPMN=ZPNMo 综合以上因素，可得ZNMP=ZMNP=20oo到此，此题可解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它 已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。2、有中位线，可寻找相等的线段。例8、如图所示：已知Zx0y = 90,点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，ZOAB 的内角平分线与ZOBA的外角平分线交于C,求ZACB的度数。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求ZACB的度

13、数问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：Zx0y = 90,点A, B分别在射线Ox, Oy 上移动，ZOAB的内角平分线与Z OBA的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出 此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答: ZABO的外角的度数与ZBAO是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：ZABO的外角ZABE在度数上等于（90。+ ZOAB）,则外角的一半ZEDB应等于12(90o+ ZOAB),而ZAB0应等于(9Oo-ZOAB),则ZA

14、BC应等于二者之和：11Z ABC二(90o+ Z OAB ) + ( 90。 Z OAB ) = ( 135。Z OAB )。22问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求ZACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子 1800ZCBAZBAC 的度数。2、根据以上所得，则有ZACB=18OoZCBAZBAC=18Oo (135o - ZOAB)-2 2Z0AB=45。原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，ZACB

15、永远等 于 45。问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图，ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E,使CE二CD。求证：DB二DE。问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求证：DB=DEO问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AABC为正三角形，BD是中线，CE=CDO 问题3、以前做过类似的题吗？ 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：根据已知中厶ABC为正三角形，BD是中线可得ZDBC二1 ZABC二1 ZACB。2 2 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：根据已知中CE=CD，可得ZCED=ZCDEO 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求证DB=DE，如何能出