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1、山西省吕梁市离石区2023届高三4月月考（模拟）数学试题试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是（ ）ABCD2（）ABCD3已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰
2、好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）ABCD4用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A48B60C72D1205过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）ABCD6甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）ABCD7已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD8抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD9已知实数，满足约束条件，则目标函数
3、的最小值为ABCD10从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A48B72C90D9611若直线经过抛物线的焦点，则（ ）ABC2D12执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A8B32C64D128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在平面四边形中，则_14在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_.15已知随机变量服从正态分布，则_16已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，其中，则的值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，为实数，
4、且（）当时，求的单调区间和极值；（）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）18（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，求的值.19（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列（1）若数列是常数列，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），求证：对任意的恒成立20（12分）已知，（1）求的最小正周期及单调递
5、增区间；（2）已知锐角的内角，的对边分别为，且，求边上的高的最大值21（12分）已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.22（10分）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）若底面是正三角形，在底面的投影为，求到平面的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算
6、出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取的中点，连接、，由和都是正三角形，得，则，则，由勾股定理的逆定理，得.设球心为，和的中心分别为、.由球的性质可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2、B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3、A【解析】设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化
7、成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设，MF的中点坐标为.代入方程可得，（负值舍去）.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.4、A【解析】对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个数字出现在第位时，同理也有个数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简
8、单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。5、A【解析】直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.6、D【解析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.
9、 故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7、B【解析】先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.8、B【解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.9、B【解析
10、】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时故选B【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键10、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类
11、计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题11、B【解析】计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.【详解】可化为，焦点坐标为，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.12、C【解析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第3次循环，满足判断条件，；第4次循环，满足判断条件，；不满足判断条件，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：
12、本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可【详解】由题意得，【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷14、【解析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接.由，得，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已
13、知可得平面平面，平面，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.15、0.22.【解析】正态曲线关于x对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题16、【解析】根据题意，判断出，根据等比数列的性质可得，再令数列中的，根据等差数列的性质，列出等式，求出和的值即可.【详解】解：由，其中，可得，则，令，可得.又令数列中的，根据等差数列的性质，可得，所以.根据得出，.所以.
14、故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）极大值0，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，（）见解析【解析】（）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无极小值；（）由，分，和三种情况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.【详解】当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，没有极小值；函数的增区间为，减区间为，当时，在上单调递增，即函数的值域为；当时，在上单调递减， 即函数的值域为；当时，易得时，在上单调递增，时，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，当时，最小值；当，最小值；综上，当时，函数的值域为，当时，函数的值域，
