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1、选修22 在本模块中，学生将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。 “推理与证明”是数学的
2、基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论
3、的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性
4、思维在数系扩充中的作用。 内容与要求 1. 导数及其应用（约24课时） （1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修11案例中的例2、例3）。 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 能根据导数定义求函数的导数。 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修11案例中的
5、例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例。 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修11案例中的例5）。 （5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。 通过实
6、例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求（参见第104页）。 2. 推理与证明（约8课时） （1）合情推理与演绎推理 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修12案例中的例2、例3）。 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单
7、推理。 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。 （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 （4）数学文化 通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。 3. 数系的扩充与复数的引入（约4课时） （1）在问题情境中了解数系的扩充
8、过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。 （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 说明与建议 1. 本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的
9、目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。 2. 在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。 3. 教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 4. 教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。 5. 本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通
10、过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。 6. 教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。 7. 在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求的根，介绍代数学基本定理等。 参考案例 例1. 一个物体依照规律在直线上运动，我们已经知道，其在某一时刻的运动速度（即瞬时速度或瞬时变化率）为在时刻的导数，即。今考虑在到之间位置的总变化。我们把区间分割成n个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为。对每一个小区间，我们假设的变化率近似为某一常量，于是我们可以说 的变
11、化率时间。 在第一个小区间内，即从到，假设的变化率近似地为，于是有 同样，对第二个小区间，即从到，假设的变化率近似地为，因此有 等等。把在所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到 s的总变化 我们可以把在到之间位置的总变化写成。另一方面，当分割无限加细、n趋于无穷时，和式 的极限就是定积分或，也就是在到之间位置的总变化。于是，我们可得到以下结论： 也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。 特别地，当物体作匀速运动时，即时， 当物体作匀加速运动时，即（其中是常数）时， 一般地，如果是连续函数，并且，那么 这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是，它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分（导数）与积分的联系。
