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1、第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（1），其中是以为顶点的三角形；（2），其中是以原点为圆心，为半径的右半圆周；（3），其中是椭圆在第一象限中的部分；（4），其中是单位圆周；（5），其中为螺旋线的一段；（6），其中是曲线的一段；（7），其中是与相交的圆周. 解 （1）；（2）右半圆的参数方程为：所以 ；（3）由于椭圆在第一象限中的部分可表示为，(),从而 所以 ；（4）由于圆的参数方程为：，所以；（5）；（6）；（7）截线为，所以.2. 求曲线的质量，设其线密度为. 解 曲线质量为.3. 求摆线的重心，设其质量分布是均匀的. 解 设摆线的线密度为，由于，从而其质量
2、为，故其重心坐标为；.4. 若曲线以极坐标表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（1），其中为曲线的一段；（2），其中为对数螺线在圆内的部分. 解 因为的参数方程为且.所以.（1）；（2）.若记 ，则 于是，故.5. 证明：若函数在光滑曲线上连续，则存在点，使得，其中为的弧长.证 由于函数在光滑曲线上连续，从而曲线积分存在，且又在上连续，为光滑曲线，所以与在上连续，由积分中值定理知：存在，使.令，显然点，且.2 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（1），其中为本节例2中的三种情况；（2），其中为摆线沿增加方向的一段；（3），其中为圆周，依逆时针方向；（4），其中为与轴所围的
3、闭曲线，依顺时针方向；（5），其中：从到的直线段. 解 （1）若积分沿抛物线：（），则；若积分沿直线：（），则.若积分沿封闭曲线，在一段上，；在一段上，；在一段上，沿从到.且 ，.因此.（2）由于，从而 .（3）由于圆的参数方程为：，所以.（4）.（5）直线的参数方程为（）.2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功. 解 椭圆的参数方程为：，而 .则力所作的功.3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比.若质点沿直线从沿椭圆移动到，求力所作的功. 解 由于力的方向指向原点，故其方向余弦为其中.所以力的
4、三个分力为.从而力所作的功.4. 证明曲线积分的估计式：其中为的弧长，. 利用上述不等式估计积分.并证明. 证 （1）因为，且，从而（2）因为，则由（1）得则，故.5. 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（1），其中：与相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限；（2），其中为球面在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过平面部分，平面部分和平面部分. 解 （1）曲线的参数方程为，且从0增加到时，曲线依次经过1，2，7，8卦限，所以.（2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分； ；组成.而 ，同理 ，.所以.总 练 习 题1. 计算下列曲线积分：（1），其中是由和所围的闭曲线；（2），
5、其中为双纽线；（3），其中为圆锥螺线，；（4），为以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点；（5），为抛物线，从到的一段；（6），是维维安尼曲线，若从轴正向看去，是沿逆时针方向进行的. 解 （1）是由与及三部分组成.故.（2）由于的极坐标方程为，且.利用对称性得.（3）由于,所以 .（4）由于圆的参数方程为：，且点与对应，点与对应.故；（5）.（6）曲线的参数方程为，则.2. 设为连续函数，试就如下曲线：（1）：连接的直线段；（2）：连接三点的三角形（逆时针方向），计算下列积分：. 解 （1）连接的直线段的方程为，则 ；.（2）连接的直线段的方程为，则；，.连接的直线段的方程为，则；，,从而；, .3. 设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零.（1）试证明;（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分是否成立？为什么？ 证 （1）证 由题设存在使得，令，由连续函数的局部保号性知：存在，使得对一切 ，有.又由于为定义在平面曲线弧段上的恒大于零的连续函数，因此在上可积，且.（其中是的弧长）.（2）不成立.因为第二型曲线积分与平面曲线弧段的方向有关.如，沿着曲线从到，显然为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且恒大于零.但.
