3.1.2 函数的表示法一、知识点归纳知识点1.函数的表示法1.解析法是表示函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点2. 分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数．1.分段函数虽然由几部分组成,但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．知识点3.三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图象研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大二、题型分析题型一 函数表示法【例1】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时,t＝100；当x＝14时,t＝28,且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象．【解析】(1)由题设条件知,当x＝2时,t＝100,当x＝14时,t＝28,列出方程组解得所以t＝x＋.又因为x≤20,x为正整数,所以函数的定义域是{x|0＜x≤20,x∈N*}．(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,共取20个值,列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x111281920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列,如图所示．【规律方法总结】函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 【变式1】. 某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )【参考答案】D【解析】：由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.题型二 函数图象的作法及应用 【例2】作出下列函数的图象,并指出其值域．(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；(2)y＝(－2≤x≤1,且x≠0)．【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示．由图可知y＝(－2≤x≤1,且x≠0)的值域为(－∞,－1]∪[2,＋∞)．【规律方法总结】描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图．(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．【提醒】函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等． 【变式2】．已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是________,值域是________．【参考答案】：[－3,3] [－2,2]【解析】：结合图象,知函数f(x)的定义域为[－3,3],值域为[－2,2]．题型三 函数解析式的求法【例3】求下列函数的解析式：(1)已知函数f(＋1)＝x＋2,求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数,且f(0)＝1,f(x＋1)－f(x)＝2x＋2,求f(x)．【解】(1)法一：换元法设t＝＋1,则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1, ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：配凑法∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1,∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1),∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1,∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2,∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2,整理,得2ax＋(a＋b)＝2x＋2.由恒等式的性质知,上式中对应项的系数相等,∴解得∴f(x)＝x2＋x＋1.【规律方法总结】求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． 【变式3】（1）．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2,求f(x)．【解】：法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6,∴f(x)＝x2－5x＋6.法二(换元法)：令t＝x＋1,则x＝t－1,∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6,即f(x)＝x2－5x＋6.（2）．已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))＝4x＋8,求f(x)．【解】：设f(x)＝ax＋b(a≠0),则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8,∴a2x＋ab＋b＝4x＋8,即,解得或∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.（3）．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x,求f(x)．【解】：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x,①∴将x换成－x,得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x,∴f(x)＝x2－2x.题型四 分段函数的定义域、值域【例4】已知函数f(x)＝,则其定义域为( )A．R B．(0,＋∞)C．(－∞,0) D．(－∞,0)∪(0,＋∞)【参考答案】D【解析】要使f(x)有意义,需x≠0,故定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)．【规律方法总结】求分段函数定义域、值域的策略(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集；(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 【变式4】函数f(x)＝的定义域为________,值域为________．【参考答案】(－1,1) (－1,1)【解析】由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1},即(－1,1)．又0＜x＜1时,0＜－x2＋1＜1,－1＜x＜0时,－1＜x2－1＜0,x＝0时,f(x)＝0,故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．题型五 分段函数求值问题 【例5】已知函数f(x)＝(1)求f(－5),f(－),f的值；(2)若f(a)＝3,求实数a的值．【参考答案】见解析【解析】(1)由－5∈(－∞,－2],－∈(－2,2),－∈(－∞,－2],知f(－5)＝－5＋1＝－4,f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.∵f＝－＋1＝－,且－2<－<2,∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时,a＋1＝3,即a＝2>－2,不合题意,舍去；当－2