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1、第三讲不定积分一、考试要求1理解原函数概念，理解不定积分的概念2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质及换元积分法与分部积分法。3会求有理函数、三角函数有理式及简单元理函数的积分（数一、二）。二、 内容提要1、 概念与性质（1）原函数（2）不定积分（3）性质： 1) f (x)dxf ( x) C 或 df (x) f (x) C2)或 d f (x)dx f (x)dx一般地，3） kf (x)dxk f (x)dx4) f (x)g( x) dxf ( x)dxg( x)dx(4)基本积分公式表：（ 1）（ 3）kdx kxC （ k 为常数）；（ 2） x dxx1C(1)；1dxl
2、n xC；（4）dxarctan x C；xx21（5）dxarcsin x C ；（ 6） cosdxsin x C ；1x21（ 7）（ 9）sin xdxcos xC ；（8）dxtan xC ；cos2xdxcot xC ；（ 10） secx tan xdxsec x C ；sin2x（11） csc xcot xdxcsc xC ；（ 12）exdxexC ；（ 13）（ 15）axdxa xC ；（ 14）shxdxchxC ；ln achxdxshxC 。补：（ 1） sec xdxln secxtan xC ,cscxdxln csc xcot x C.（2）21x2 dx1
3、 arctan xC ,a212 dx1ln axC.aaax2aax（3）dxarcsinxa2x2C.a2、 主要计算方法(1) 第一换元积分法常用 “凑”微分公式：(2) 第二换元积分法根式代换,三角代换倒代换注：其它代换 ext ,ln xt ,arcsin xt ，1ext 等1) 当被积函数中含有2) 当被积函数中含有3) 当被积函数中含有a2x2 时令 xa sin t 或 xa costa2x2时令 xa tant 或 xa cotta2x2时令 xa sect 或 xa csct4）当被积函数的分母含有变量因子x 时，令 x1 .t2(3) 分部积分法常用分部积分法：Pn (
4、 x)ekx dx,Pn (x) sin axdxPn ( x) ln xdx,Pn ( x) arcsin xdxeax sin bxdx1)pn ( x)ex dx,pn (x) sin xdx,pn (x) cos xdx 中 pn (x)为 n 次多项式 , 一般选取 upn (x) 分别dvexdx, dvsin xdx, dvcos xdx2)pn ( x) ln xdx,pn (x) arcsin xdx,pn ( x) arctan xdx 中pn (x) 为 n 次多项式 , 一般分别选取uln x,uarcsin x,uarctan x 取 dvpn ( x) dx3)ea
5、x sin bxdx,ebx cosbxdx 中可选取 ueax ,分别取 dvsin bxdx, dvcosbxdx,也可分别取 usin bx,ucosbx, dveax dx(4) 有理函数的积分 : 化为部分分式（数一、二）(5) 三角有理函数的积分 : 万能代换 tan x t （数一、二）2(6) 简单无理函数的积分 : 作变量替换（数一、二）三、 典型题型与例题题型一、基本概念与性质3例 1、 （893）下列等式中，正确的是d(A)f ( x)dxf ( x )(B)dx(C)df ( x)f ( x)(D)f ( x )dxf ( x)df ( x )dxf ( x )(dx
6、)例 2、设 f ( x ) 是连续函数， F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则（A）当 f ( x ) 时奇函数时， F ( x ) 必为偶函数（B）当 f ( x ) 时偶函数时， F ( x ) 必为奇函数（C）当 f ( x ) 时周期函数时， F ( x ) 必为周期函数（D）当 f ( x ) 时单调增函数时， F ( x ) 必为单调增函数例 3、设 xf ( x )dxarcsin x c, 求dxf ( x )例 4、若 f ( x2 )dx x4 C , 求 f (x)题型二、凑微分法要熟记一些常见形式的凑微分，如xx 1111e dx dex dx d ln
7、x,xdx2d x ,x2dxdx,4f (sin x) cosxf (sin x)d sin x,1dx d arctanx以及整体凑微分等1x2例 5、求不定积分 I2x3xdx 评注：本题利用了9x4x( 3)xln 3 dxd( 3 )x 22213(x 1)2dx例6、求I2x2x例 7、求 Ixdx1x4 (arcsin x2 )3例8、求I1ln 1x dx1x21x5例 9、例 10、dx3 x ,ex32de x 11xe2 ( x 1)dx e1e2( x 1) ee1例 11、1 xdx （=d (1 xe x )）2ex2x x2 e x1 (1 xe x )26例12
8、、题型三、有理函数的积分有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和 , 这四种部分分式及其不定积分如下 :(1)(2)(3)(4)AdxAln x a C;x aAA1(x a)m dxm 1 ( x a)m 1C (m 1);AxBdxA ln( x2pxq)2BAP arctan2xpC ;x2px q24q p24q p2AxBdxA1(BAp )( x2dx(x2px q)m2( m 1) (x2px q)m 12px q)m其中 , 二项式 x2pxq 无实根 , 即p24q 0 ;且 I mdxpdt可使用分部积分法导出递推( x2px q)m令 t x(t 2a2 )m22公式来计算（a4qp），利用配方法及分部积分法可得2AxBdx 的表达式。2xpxq通过多项式的除法总可分解有理函数为多项式与真分式之和, 在应用待定系数法时 , 首先要把分解的形式写正确。例 13、求 I3x2x43x22xdxx27例 14、求dx4 (1 x 2 )x例 15、求 x 22x1003dx( x2)
