离散数学习题解第二部分(代数系统)

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2、LCM=（x，y），z）|x，y，zI且z= LCM（x，y）解 a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2I是I上的一个二元运算。 b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2I是I上的一个二元运算。 c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2I是I上的一个二元运算。 d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 2=；若x=y=0，则z=xy=0，则z=； g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2I是I上的一个二元运算。

3、 h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2I是I上的一个二元运算。 i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2I是I上的一个二元运算。 j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2I是I上的一个二元运算。注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。2设X=x | x=2n，nN问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？答普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2X，x

4、2=22X，使x1+x2=2+22=6X。普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=X，x2=X，这里n1，n2N，都有x1x2=X（因为n1+n2N）。3设是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素elX，使，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。解：a) 构造代数系统如下：令X=a，b，c，d，*：XXX，其运算表如下：*abcdadabcbabcdcabccd

5、abcd则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。b) 构造代数系统如下：令X=1，2，3，4 *： XXX，其运算表如下：*123411243221343341244423则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。c) 证因为代数系统关于*运算存在着左、右幺元，ei，erX 则el = el * er = er4设是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素OlX，使xX，有Ol*x=Ol是关于*的左零元。若有元素OrX，使xX，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。c) 证明：在代数系统中，若关于*有左

6、零元和右右零元，则左零元等于右零元。解 a) 构造代数系统如下：令X=a，b，c，*：XXX，其运算表如下：*abcaaaabbbbcbca则a和b都是左零元，但没有右零元。b) 构造代数系统如下：令X=1，2，3，*：XXX，其运算表如下：*123123323133123则3是右零元，但没有左零元。c) 证因为代数系统关于*运算存在着左、右零元，Ol，OrX，则Ol=Ol*Or=Or5当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。答在一个代数系统中，1）运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何

7、x，yX，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。2）运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3）运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。4）运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。5）若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素yY，使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。6设是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x，若存在yX，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在zX，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中各

8、元素的左、右逆元的情况。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace解 a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。7设是代数系统，*是X上的二元运算。x，yX，有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解 a) *运算满足结合律因为对任何x，y，zX，都有x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*zb) *运算不满足交换律因为对于二个元素x，yX，有x*y=x，而y*x=y。

9、所以当X包含多于一个元素时，能使xy，从而x*yy * x。c) 没有幺元因为若有幺元eX存在，则对任何xX，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x e，矛盾。d) 没有零元，仿c) 保证。e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。并且若存在一个元素aX，使得对每个元素xX，都有一个元素yX，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）8设是代数系统，*是N上的二元运算，x，yN，x * y=LCM（x，y）。问*是否满足结合律，是否满

10、足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解 a) *运算满足结合律因为，对于任何x，y，zN，（x*y）* z =LCM (（x * y），z) = LCM (LCM（x，y），z) = LCM (（x，y，z） = LCM (（x，（y * z） = LCM (（x * y），z) = x * (y * z)注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z）， C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2，

11、y |C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有dC2于是d |C2（否则C2=kd+r，0rd，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1C2。另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可知C2C1。所以，C1=C2。同理可证LCM（x，L

12、CM（y，z）=LCM（x，y，z）。b) *运算满足交换律因为对于任何x，yN，x * y=LCM（x，y） = LCM（y，x） =y * x（c）*运算有幺元1N。因为，对于任何xN， x * 1=LCM（x，1） =x =LCM（1，x） =1 * x（d）*运算没有零元。因为0 N。（e）对于每个元素xX，若x1，则对每个元素yN，都有x*y=y*x=LCM（x，y）x1，故此没有逆元素。9设是代数系统，*是X上的二元运算。X是X中的任一元素，若有x*x=x，则称x是幂等元。若*是可结合的，且x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个元素都是幂等元。证对于任何xX，

13、令xi=x*x，xj=x，于是xi*xj=（x*x）*x =x*（x*x）（结合律） =xj*xi从而由怕给性质，有xi=xj，即x*x=x。因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。10设是代素系统，和分别是X上的两上二元运算。若xX，有xy=x。证明关于是可分配的。证对于任何x，y，zXx（yz）=xy=（xy）=（yz）x=yx=（yx）（zx）因此代数系统中关于是可分配的。11设是代数系统，和分别是X上的两上二元运算。e1和e2分别是关于和的幺元，且对于满足分配律，对于满足分配律。证明：xX，有xx=x，xx=x证（a）先证 e1e1=e1e1e1=e1（e1e1）（e1是幺元）=（e2e1）（e1e1）（e2是幺元）=（e2e1）e1 （对的分配）=（e2e1）（e1是幺元）= e1 （e2是幺元）（b）次证 e2e2 = e2 e2e2 =e2（e2e2）（e2是幺元）

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