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1、实验二 线性系统时域响应分析一、实验目的1熟练掌握 step( )函数和 impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、 单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。2.通过响应曲线观测特征参量匚和对二阶系统性能的影响。n3熟练掌握系统的稳定性的判断方法。二、基础知识及MATLAB函数1. 基础知识 时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有 直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应(如阶跃响应、脉冲 响应和斜坡响应)。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在 MATLAB 环境下获取系统 时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的
2、方法。用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降 幕排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n，所以 num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数 也用零补上。传递函数的表示方法：考虑下列系统:C( s ) _ s + 4_ s + 4R( s) s2 + 5s + 6(s + 2)(s + 3)num=1 4;den=1 5 6;G=tf(num,den)z=-4;p=-2 -3;k=1;g=zpk(z,p,k)num=1 4;den=conv(l 2,1 3);gl=tf(nu
3、m,den)也可。用 MATLAB 求控制系统的瞬态响应： 阶跃响应-求系统阶跃响应的指令有:step(num,den) 时间向量 t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出 step(num,den,t)时间向量 t 的范围可以由人工给定(例如 t=0:0.1:10)y, x=step(num,den) 返回变量y为输出向量，x为状态向量在 MATLAB 程序中，先定义 num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信 号下的阶跃响应曲线图。考虑下列系统:C(s) _25R(s) 一 s2 + 4s + 25该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s
4、的降幕排 列。则mat lab的调用语句：num=0025;%定义分子多项式den=1425;%定义分母多项式step(num,den)%调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid%画网格标度线xlabel(t/s),ylabel(c(t) %给坐标轴加上说明 title(Unit_step Respinse of G(s)=25/(s2+4s+25)%给图形加上标题名则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：图2-1二阶系统的单位阶跃响应图2-2定义时间范围的单位阶跃响应若要绘制系统t在指定时间(OTOs)内的响应曲线，则用以下语句：num=0025;den=1425;t=O：O.1：1O;st
5、ep(num,den,t)即可得到系统的单位阶跃响应曲线在OTOs间的部分，如图2-2所示。脉冲响应 求系统脉冲响应的指令有:impulse (num,den)时间向量 t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出impulse (num,den,t)时间向量 t 的范围可以由人工给定(例如 t=0:0.1:10)y,x二impulse(num,den)返回变量y为输出向量，x为状态向量y,x,t=impulse(num,den,t) 向量 t 表示脉冲响应进行计算的时间例:试求下列系统的单位脉冲响应:C (s)R( s)1s 2 + 0.2 s + 1在 matlab 中可表示为num=0
6、 01; den=1 0.2 1;impulse(num,den)gridtitle(Unit-impulse Response of G(s)=l/(s2+0.2s+l)由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3 所示。 求脉冲响应的另一种方法应当指出，当初始条件为零时，G (s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1所以C (s)R( s)=C (s) = G (s)=1s 2 + 0.2 s + 1s1x s 2 + 0.2 s +1 s因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。向MATLA
7、B输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应 曲线如图2-4 所示。num=0 10; den=1 0.21;step(num,den)gridtitle(Unit-step Response of sG(s)二s/(s2+0.2s+l)图 2-3 二阶系统的单位脉冲响应Unit-Step Response of G(s)=1 /(s2+0.2s+1)图 2-4 单位脉冲响应的另一种表示法斜坡响应MATLAB 没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时，通常利用阶跃 响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/S,而单位斜坡信号的拉氏变换为1/S2。因 此
8、，当求系统G(s)的单位斜坡响应时，可以先用s除G(s),再利用阶跃响应命令，就能求 出系统的斜坡响应。例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。C (s) =1R (s)s 2 + s + 1对于单位斜坡输入量，R(s)=l/S2，因此C (s)=11Xs 2 + s + 1s 21(s 2 + s + 1) s在MATLAB中输入以下命令，得到如图2-5所示的响应曲线： num=0 0 0 1; den=1 1 1 0;step(num,den)title(Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=l/(s2+s+l)Unit-Ramp Response
9、Curve for System G(s)=1/(s2+s+1)一 nd-50 pue -ndu-图 2-5 单位斜坡响应2. 特征参量:和对二阶系统性能的影响n标准二阶系统的闭环传递函数为：C ( s ) 2nR(s) s 2 + 2g s + 2nn二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。C对二阶系统性能的影响设定无阻尼自然振荡频率o 1(rad / s)，考虑5种不同的:值：:=0,0.25,0.5,1.0和 n2.0,利用MATLAB对每一种:求取单位阶跃响应曲线，分析参数:对系统的影响。为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线(采用“hold”命令实现)。num
10、=0 0 1; den1=1 0 1; den2=10.5 1;den3=1 1 1; den4=1 2 1; den5=14 1;t=0:0.1:10; step(num,den1,t)gridtext(4,1.7,Zeta=0); hold step(num,den2,t)text(3.3,1.5,0.25) step(num,den3,t) text(3.5,1.2,0.5) step(num,den4,t) text(3.3,0.9,1.0) step(num,den5,t) text(3.3,0.6,2.0)titl e(S tep-Response Curves for G(s)=
11、l/s2+2(ze ta)s+l)由此得到的响应曲线如图2-6 所示。图2-6 :不同时系统的响应曲线OJpntg图2-7不同时系统的响应曲线n对二阶系统性能的影响n同理，设定阻尼比0.25时，当分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应n曲线，分析参数对系统的影响。nnum1=001; den1=10.51;t=0:0.1:10; step(num1,den1,t);grid; hold ontext(3.1,1.4, wn=1)num2=004;den2=114;step(num2,den2,t); hold ontext(1.7,1.4,wn=2)num3=009; den3=
12、11.59;step(num3,den3,t); hold ontext(0.5,1.4,wn=3)由此得到的响应曲线如图2-7所示。3. 系统稳定性判断1)直接求根判稳 roots() 控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定 性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根 的函数为roots()函数。若求以下多项式的根s4 +10s3 + 35s2 + 50s + 24，则所用的MATLAB指令为: roots(1,10,35,50,24)ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000特征方程的根
13、都具有负实部，因而系统为稳定的。2)劳斯稳定判据routh()(略)三、实验内容1. 观察函数step()和impulse()的调用格式，假设系统的传递函数模型为G(s)=s 2 + 3s + 7s 4 + 4s3 + 6s 2 + 4s +1可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。w 2ns 2 + 2w s + w 2G(s)=2对典型二阶系统1)分别绘出 w = 2(rad / s)，nnn匸分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数匚对系统的影响。2)绘制出当:=0.25, w分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数w对系统的影 nn
14、响。3.系统的特征方程式为2s4 + s3 + 3s2 + 5s +10 = 0，试判别该系统的稳定性。(提示：特征方程的根都具有负实部系统才能稳定)四、实验报告1. 根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB运算结果。2. 记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。3. 总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。4写出实验的心得与体会。五、预习要求1. 预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句，熟悉MATLAB指令及step()和impulse( )函数。2. 结合实验内容，提前编制相应的程序。3. 思考特征参量匚和对二阶系统性能的影响。n4熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。
