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1、任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：聴角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角任意角的概念与弧度制1. 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形正角：按逆时针方向旋转所形成的角 负角：按顺时针方向旋转所形成的角 零角:如果一条射线没有做任何旋转 ，我们称它形成了一个零角要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义2. 终边相同的角、象限角终边
2、相同的角为厂：:角的顶点与原点重合，角的始边与T轴的非负半轴重合那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角要点诠释：(1) 终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2) 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3) 终边相同的角有无数多个，它们相差二的整数倍3、终边相同的角与象限角：与角&终边相同的角构成一个集合:顶点与坐标原点重合，始边与工轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.知识点二：弧度制】蕊勺弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1；-；,或1弧度，或1(单位可以省略不写).弧度与角度互换公式：1丄 人=57
3、 18, 1 = L1 (rad) 弧长公式：丨,J; ; 是圆心角的弧度数),扇形面积公式:要点诠释:(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分, 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 方向来决定.如山 等等，一般地，正0,角的正负主要由角的旋转(2)角*的弧度数的绝对值是：同=尸，其中，是圆心角所对的弧长，厂是半径.3、弧度制的概念及换算：怎规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“ rad ”可以略去不写.在半径为广的圆中，弧长为1的弧所对圆心角为 二二，则180 57.7 = 5718,所以，二;
4、二二 rad，-(rad) ，1(rad)4、弧度制下弧长公式：丢;弧度制下扇形面积公式类型一：象限角儘1.已知角-=_:_ ;宸在区间- L -内找出所有与角工有相同终边的角;(2)集合M= X190P+4S3, k 已上c 已知“是第三象限角，则；是第几象限角?N= x| x= -xl90+4于,keZ、4，那么两集合的关系是什么?解析：(1)所有与角墨有相同终边的角可表示为：丨一.1 1-,则令去：兰严得-飞: W：三 7：至E色解得 ；厂二工，从而或=_1代回匸-：或二；.(2)因为- 1_ L、表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合:表示终边落在坐标轴或四个象限平 分线
5、上的角的集C合，从而:让 T.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角-有相同终边的角，然后列出一个关于 L的不等式，找出相应的整数代回求出所求解；(2)可对整数卜 的奇、偶数情况展开讨论a倔思路点拨：已知角门的范围或所在的象限，求 二所在的象限是常考题之一，一般解 法有直接法和几何法， 其中几何法具体操作如下： 把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上 I、n、川、w，并循环一周，则 Q原来是第几象限的符号所表示的区域即为理(n N)的终边所在的区域JT+ (jt e Z)32 f当k=3m(m Z)时，；为第一象限角；a当k=3m+ 1(m Z
6、)时，二；为第三象限角，a当k=3m+ 2(m Z)时，二为第四象限角，故为第一、三、四象限角解法二：把各象限均分 3等份，再从x轴的正向的上方起.依次将各区域标上I、n、川、w，并依次循环一周，a则3原来是第川象限的符号所表示的区域即为-的终边所在的区域.cc由图可知，-是第一、三、四象限角.总结升华：(1) 要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2) 讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应 引起注意.举一反三:Af - (x| x = + , A g Z) ?/= (j： | a- = -I-, A： Z)【变式1】集合,一 1一，则()A、B
7、、C MuNDMDMm思路点拨：（法一）- 一“取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4（法二）在平面直角坐标系中，数形结合【答案】CIk筑+真（2七+耳 = kZ?（法三）集合M变形-血打十 2ti （k + 2）tt l _X = = , A7 Z集合N变形“,T是笄的奇数倍，I -匸是肾的整数倍，因此文S亠-.sin _2_&COS 【变式2】设匸为第三象限角，试判断二的符号:.ZkTT+Ti 2kn+Ti:rk e7,解析：&为第三象限角，-k?i+- 上汗+2砥金迂乙当-二-时,5+S殳沏显兀邑- 此时二在第二象限.&311)2 0.*邑沁皿仅。加2 2 2当._/ I .
8、 2 1 .时：.(力 + 1)刃+ 彳 + 1河+ -7T；6_此时-在第四224象限.&311)& & +:.sin 0,亡* 2 2 2sin eCOS 2综上可知:.已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半,那么扇形的中心类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题 臨|角是多少弧度合多少度扇形的面积是多少?饰解：设扇形的圆心角是 尺緘，因为扇形的弧长是,所以扇形的周长是沾依题意，得+门8 =（押- 2）rat（JF- 2） X1 142x57.3065.44S = - re =丄 3 - 2）r2 2总结升华： 弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式一一，”和圆面积公式1 3S =
9、 2tt - F2，当用圆心角的弧度数 咙代替2兀时，即得到一般的弧长公式和扇形面积1 1 . . 2I = a r, X =-/? = Lt r公式：22举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角-等于多少弧度时，这个扇形的面积最大并求出这个扇形的最大面积思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题解：设扇形的半径为，则弧长为I = （20-二丄（20 2厂）厂二一（厂一齐 +25.于是扇形的面积二当-时，-（弧度），=取到最大值，此时最大值为二.故当扇形的圆心角等于 2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇
10、形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解、角度制与弧度制的互化:3n-.讦解:225* = 225x= -tt为第三象限;63 630：130=-Zx 180n =-252- = X18O- = 1 汁-为第二象限；-一为第三象限角小结：1用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“匸加；”；2角度制化弧度时，分数形式，且“ 沢”不取近似值.、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合:第一象限角;锐角;小于-的角;7T（4）终边与L角的终边关于T轴对称的角；（5）终边在直线丁 =二上的角解匸或7Fa 10 a ?0 ala 9旷7T-7T（4）分析：因为所求角的终边与 角的终边关于轴对称，可以选择代表角因此问题转化717T- 为写出与 -角的终边相同的角的集合即9紗+汙-和汉a a-1 180* 十4?上 w 了注意：角度制与弧度制不能混用!、若&是第二象限角，则a-是第几象限角反之，-是第二象限角，总是第几象7T.2匕r + c a c 2+瓯上巨Z 帝 解：若上是第二象限角，则-，两边同除以2，当匚为奇数时,aar-是第三象限角；当为偶数时，I是第一象限角TT Q2上河+ 一 2Ajr+jr?jt e Z 反之，若-是第二象限角，则两边同乘以 2，得 1 - - - 所以门是第一或第二象限角或终边在匸轴正半轴上的轴上角注意：数形结合.
