排列组合基本知识

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1、-WORD格式 - 可编辑 -基本知识排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关如231 与213 是两个排列， 2 3 1 的和与 2 1 3 的和是一个组合(一 )两个基本原理是排列和组合的基础(1) 加法原理： 做一件事， 完成它可以有 n 类办法， 在第一类办法中有 m1 种不同的方法， 在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同方法(2) 乘法原理： 做一件事， 完成它需要分成 n 个步骤， 做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成

2、这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同的方法这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n 类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤， 依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来(二 )排列和排列数(1) 排列：从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序

3、必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法-WORD格式 - 可编辑 -(2) 排列数公式： 从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素的所有排列 ,当 m n 时，为全排列 Pnn=n(n 1)(n 1) 3 2 1n ！(三 )组合和组合数(1) 组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合(2) 组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素的所有组合的个这里要

4、注意排列和组合的区别和联系，从 n 个不同元素中，任取 m(m n) 个元素， “按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力(2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词 (特别是逻辑关联词和量词 )准确理解；(3) 计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用(1) 加法原理和分类

5、计数法1 加法原理2 加法原理的集合形式-WORD格式 - 可编辑 -3 分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 (即分类不重 )；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 (即分类不漏 )(2) 乘法原理和分步计数法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例题分析 排列组合思维方法选讲1首先明确任务的意义例 1. 从 1 、2 、 3 、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列

6、有 _个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定，又2b 是偶数， a,c 同奇或同偶， 即：从 1，3 ，5 ，19 或 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180 。例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从 M 到 N 必须向上走三步， 向右走五步， 共走八

7、步。-WORD格式 - 可编辑 -（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为： =56 。2注意加法原理与乘法原理的特点， 分析是分类还是分步，是排列还是组合例 3 在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A ， B两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有_种。分析：条件中“要求 A 、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：

8、 A 在第一垄，第二类： A 在第二垄，第三类： A 在第三垄，同理 A、 B 位置互换B有3种选择；B有2种选择；B 有一种选择，共 12 种。例 4 从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰好有一双同色的取法有 _。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。（一）从6 双中选出一双同色的手套，有种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；-WORD格式 - 可编辑 -（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共 240 种。例 5 身高互不相同的 6 个人排

9、成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为 _。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 =90 种。例 6 在 11 名工人中，有5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外 2 人能当钳工也能当车工。现从11 人中选出 4 人当钳工， 4 人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人

10、有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。因而共有 185 种。例 7 现有印着0 ， l， 3 ， 5 ，7 ，9 的六张卡片，如果允许9 可以作 6 用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数 ?分析：有同学认为只要把0 ， l， 3， 5， 7 ， 9 的排法数乘以2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有9 的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9 ，有种方法；-WORD格式 - 可编辑 -抽出的三数含0 不含 9 ，有种方法；抽出的三数含9 不含 0 ，有种方法；抽出的三数不含9 也不含 0 ，有种方法。又因为数字9 可以当 6 用，因此共有 2 (+

11、)+=144种方法。例 8 停车场划一排12 个停车位置， 今有 8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是分析：把空车位看成一个元素，和8因而共有种停车方法。_种。辆车共九个元素排列，3特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例 9 六人站成一排，求(1) 甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2) 甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：（ 1 ）先考虑排头， 排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共+ 种站法。（2 ）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方

12、法。第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。共+2+=312 种。例 10 对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?-WORD格式 - 可编辑 -分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有种可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有种可能。 共有种可能。4捆绑与插空例 11. 8人排成一队(1) 甲乙必须相邻 (2) 甲乙不相邻(3) 甲乙必须相

13、邻且与丙不相邻(4) 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5) 甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：（ 1 ）有种方法。（2 ）有种方法。（3 ）有种方法。（4 ）有种方法。（5 ）本题不能用插空法，不能连续进行插空。用间接解法：全排列 - 甲乙相邻 - 丙丁相邻 + 甲乙相邻且丙丁相邻，共 -+=23040 种方法。例 12. 某人射击 8 枪，命中 4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况 ?分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列，即。-WORD格式 - 可编辑 -例 13. 马路上有编号为 l， 2 ， 3 ， 10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种 ?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别， 因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放