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1、例谈转化与化归思想的应用在日常教学中，常遇到一些问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.比较常见的表现形式有：陌生与熟悉的转化，复杂与简单的转化、变量与常量的转化、数与形的转化、函数与方程的转化、空间与平面的转化、正与反的转化、抽象与具体的转化等等.下面就一些题目谈谈一些处理策略.1陌生与熟悉的转化例1 已知求证：.解析：原条件可化为令则 ，因为， 所以即,整理得所以成立.点评 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.本题巧妙的将陌
2、生的的分式经过整理变形，转化为熟悉的两角和差正切公式来解决.2复杂与简单的转化例2 已知函数，求函数的定义域，并证明是单调递减函数.解析：由得，所以函数的定义域为.设，是单调递减函数.则，由于在均为单调函数，由复合函数的单调性知：函数在上是单调递减函数.点评：本题函数形式较复杂，直接化简较难，通过引入三角进行换元，将复杂函数转化为简单的函数形式.但在引入参数角时，还需跟上合适的范围以便求解.3变量与常量的转化例3 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围解析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原
3、理，可想而知，这是相当复杂的设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是点评 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.4空间与平面的转化例4 如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥.（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直
4、角梯形，如图（b）所示.求证：侧棱；（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中，求侧面与底面所成角；解析：（1）在平面图中，.故三棱锥中，且 平面，.（2）由（1）在三棱锥中作于，连结. ,且，是所求二面角的平面角，在展开图中，连 得，作于，得.设，则，由， =.故,，由得，又 ，所以. 在中，侧面PAC与底面所成的角的大小为.点评 立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算往往是转化为平面内的角来求解.5数与形的转化例5 求函数的最小值.解析：，设，则上述问题转化为求的最小值，如图点关于轴的对称点为,因为,所以的最小值为.点评 本题如果直接对原式进行变形，是有一定运
5、算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题.6方程与函数的转化例6 若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围是 .解析： 令，则原题转化为方程在上有两个根.令，由二次函数图象可知：解得：点评 本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.7正与反的转化例7 给定实数，且，设函数（其中R且），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于轴证明：设、是函数图象上任意两个不同的点，则假设直线平行于轴，则必有，即，整理得由，得，这与已知条件“
6、”矛盾，因此假设不成立，即直线不平行于轴点评 该题正面求证很困难，但通过找出反面的矛盾，从而证明原命题的正确.本题中“不平行”的否定是“平行”，通过假设“直线平行”，然后得出矛盾，从而推翻假设8抽象与具体的转化例8 设定于在实数集上，当时，且对于任意实数都有，同时，解不等式.解析：由中取得，若，则令，则与时，矛盾.所以.当时，当时，而所以又因，所以，设且则，所以在上为单调增函数.又因，所以.由得单调性可得，解得.点评 由于指数函数有类似的性质，所以猜想模型函数为，由，则将不等式化为，只需证明的单调性即可.数学中的转化比比皆是，但实质都是揭示内在联系，实现转化.除极简单的数学问题外，几乎每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程，但还应注意转化中的等价性，即转化前后必须是等价的、合理的.
