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1、第五章 线性规划在管理中的应用5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管 理层考虑将这些剩余生产力用于新产品I、II、III的生产。可用的机器设备是限制新产品产 量的主要因素，具体数据如下表：机器设备类型每周可用机器台时数铣床500车床350磨床150每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：机器设备类型新产品I新产品II新产品III铣床846车床430磨床301三种新产品的单位利润分别为0.5元、 0.2元、 0.25 元。目标是要确定每种新产品的产 量，使得公司的利润最大化。1、判别问题的线性规划数学模型类型。2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限
2、制条件以及决策的总绩效测度。3、建立该问题的线性规划数学模型。4、用线性规划求解模型进行求解。5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对 偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。6、若销售部门表示，新产品I、II生产多少就能销售多少，而产品III最少销售18件， 请重新完成本题的 1-5。解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3决策的限制条件：8X+ 4x2+ 6x3W500铣床限制条件4厲+ 3x2W350车床限制条件3厲+ x3W150磨床
3、限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x33、本问题的线性规划数学模型max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S. T.8X+ 4x2+ 6x3W5004X+ 3x2W3503X+ x3W150x1 20、x2 20、x3 204、用 Excel 线性规划求解模板求解结果：最优解（50， 25， 0），最优值：30元。5、灵敏度分析目标函数最优值为: 30变量最优解相差值x1500x2250x30.083约束松弛/剩余变量对偶价格10.05275030.033目标函数系数范围:变量下限当前值上限x1.4.5无上限x2.1.2.25x
4、3无下限.25.333常数项数范围 :约束下限当前值上限14005006002275350无上限337.5150187.5(1) 最优生产方案：新产品I生产50件、新产品II生产25件、新产品III不安排。最大利润值为30 元。(2) x3的相差值是0.083意味着，目前新产品III不安排生产，是因为新产品III的利润 太低，若要使新产品III值得生产，需要将当前新产品III利润0.25元/件，提高到0.333元/件。(3) 三个约束的松弛/剩余变量 0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而 车床的可用工时还剩余75个工时；三个对偶价格 0.05，0，0.033 表明三种机床每增加一
5、个工时可使公司增加的总利润 额。(4) 目标函数系数范围表明新产品I的利润在0.4元/件以上，新产品II的利润在0.1到0.25之间，新产 品III的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。(5) 常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、 磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元， 0元，0.033元不变。6、若产品III最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5X+ 0.2x2+ 0.25x3S. T.8X+ 4x2+ 6x3W5004X+ 3x2W3503X+ x3W150
6、x318x1 20、x2 20、x3 20这是一个混合型的线性规划问题。代入求解模板得结果如下：最优解(44，10，18)，最优值：28.5元。灵敏度报告：目标函数最优值为: 28.5变量最优解相差值x1440x2100x3180约束松弛/剩余变量对偶价格10.052144030.03340-.083目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1.4.5无上限x2.1.2.25x3无下限.25.333常数项数范围 :约束下限当前值上限14605006922206350无上限318150165401830（1）最优生产方案：新产品I生产44件、新产品II生产10件、新产品III生产18件。最大利润值
7、为28.5元。（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完 新产品III的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总 利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品III的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少 0.083 元。（4）目标函数系数范围表明新产品I的利润在0.4元/件以上，新产品II的利润在0.1到0.25之间，新产品III 的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5
8、）常数项范围 表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18至到 165工时之间、新产品III产量限制在30件以内。各自每增加一个工 时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。5.2某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm,现在要在宽度上进行切割以完成以下订货 任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割 可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型 min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x
9、10S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x675 X2+2X4+X6+3X7+2X8+X950 X3+3X5+X6+2X8+3X9+4X10 上110 叫上 （i=1，厶.10） 用Excel线性规划求解模型板求解： 最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333 因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为： 即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 63.333变量最优解相差值x118.3330x20.056x30.111x40.111x5200x6
10、0.167x70.167x8250x90.056x100.111约束松弛/剩余变量对偶价格10-.33320-.27830-.222目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1.7511.071x2.9441无上限x3.8891无上限x4.8891无上限x5.83311.083x6.8331无上限x7.8331无上限x8.44411.111x9.9441无上限x10.8891无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限12075无上限2050110350110275这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。 松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的
11、最低限。三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限 再增加一个，将增加原铜板333cm、. 278cm、. 222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一 致。常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜 板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽， 已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变 用原铜板的比例。5.3 某医院对医生工作的安排为4 小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班 次需要医生人数如下表：班次时间人
12、数10:00-4:00424:00-8:00738:00-12:009412:00-16:0012516:00-20:008620:00-24:006其中，第 6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医 生报到。若参加1、2、6 班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应 如何安排各班开始时医生的报到人数。解：第一步：不考虑夜班津贴。 线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T.%+24xi+x27x2+x329 x3+x4212x4+x58 &+%上6详0 (i=l, 2, 3, 4, 5, 6)用 Excel 线性
13、规划求解模板求解得：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六 班不安排人。总人数为25人。灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 25变量最优解相差值x170x200x3100x420x560x600约束松弛/剩余变量对偶价格13.020-131.040-150. 060-1目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x10.11x211无上限.x30. 11x41. 12x5011x611无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限1无下限47247无上限3无下限91041112无上限56896568这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。班次时间所需人数本段安排人数上段安排人数本段实际人数多余人数10:00-4:004
