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1、高一数学上册(人教新课标A版)集合教案集合(知识讲解) 一、目标认知 学习目标: 1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系( 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法、特征性质描述法和Venn图法)描述不同的具体问 题，感受集合语言的意义和作用( 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合 等( 4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集(在具体情境中，了解空集和全集的含 义( 5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集(理解在给定集合中一个子集的 补集的含义，会求给定子集的补集
2、( 重点、难点: 1.对集合中元素的三要素的应用; 2.运用集合的两种常用表示方法-列举法与描述法，正确表示一些简单的集合; 3.弄清元素与子集、属于与包含之间的区别; 4.集合的交集与并集、补集的概念; 5.集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”. 二、知识要点梳理 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 知识点一:集合的有关概念 1(集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断
3、一个给定的东西是否属于这个总体. 2(一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 3(关于集合的元素的特征 (1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不 应重复出现同一元素. (3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一 个集合，它们都表示同一个集合. 4(元素与集合的关系: (1)如果a是集合A的元素，就说a属
4、于(belong to)A，记作aA (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作 5(集合的分类 (1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作:. (2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集. 6(常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N * 正整数集，记作N或N +整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二:集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 2 1.列举法:把集合中的元素一
5、一列举出来，写在大括号内.如:1，2，3，4，5，x，3223x+2，5y-x，x+y，; 2.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点三:集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A; 子集:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作:，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“
6、包含”关系: 真子集:若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作:AB(或BA) 规定:空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 ，则A与B中的元素是一样的，因此A=B 结论:任何一个集合是它本身的子集. 知识点四:集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作:A?B读作:“A并B”，即:A?B=x|xA，或xB Venn图表示: 说明:两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素). 2.交集 一般地，
7、由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集;记作:A?B，读作:“A交B”，即A?B=x|xA，且xB;交集的Venn图表示: 说明:两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合. 3.补集 全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集:对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作:补集的Venn图表示: 说明:补集的概念必须要有全集的限制. 4.集合基本运算的一些结论:
8、 若A?B=A，则，反之也成立 若A?B=B，则，反之也成立 若x(A?B)，则xA且xB 若x(A?B)，则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 三、规律方法指导 1.注意和初中数学知识的衔接，这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，如一元二次方程、二元一次方程组、平面几何中常见的平面图形等(在此基础上，再根据本章特点，较快地吸收新知识，形成新的知识结构( 2.认真理解、反
9、复推敲思考本章各知识点的含义及各种表示方法(容易混淆的知识应仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与集合知识相适应的理论体系与思想方法( 3.常用的数学思想方法主要有:数形结合的思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题;分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合间的包含关系等(逐步培养用集合的思想来分析问题、解决问题的能力( 经典例题透析 类型一:集合的概念及元素的性质 1(下列各组对象中，能构成集合的是( ) (1)接近于0的数的全体;(2)比较小的正整数的全体;(3)平面上到坐标点O的距离等于1的点的全体; (4)正三角形的全体; (5)的近似值的全体. 思路点拨:从集合元素的“确定”、“互
10、异”、“无序”三种特性判断. 解:“接近于0的数”、“比较小的正整数”对象不确定，所以(1)、(2)不是集合，同理(5)也不是集合.(3)、(4)可构成集合，故答案是(3)、(4). 举一反三: 【变式1】判断下列语句能否确定一个集合,如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集. (1)申办2008年奥运会的所有城市;(2)举办2008年奥运会的城市;(3)高一数学课本中的所有难题; (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体; (5)大于0且小于1的所有的实数. 思路点拨:紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题. 解:(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不
11、同的城市，能组成一个集合，且为有限集; (2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集; (3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难 题”无法客观判断. (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合， 是有限集. (5)大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合， 是无限集. 总结升华: (1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断; (2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素
12、的个数很多，但不一定是无限集. 2(比较下列两个集合的差异: 22 (1)A=(x，y)|y=x， x?R， B=y|y=x， x?R; 2 (2)A=x|x-6x-7=0 B=(x，y)|. 2 解析:(1)集合A是一个点集，是函数y=x图象上的点的集合;集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素不同. (2)A=-1，7， B=(-1，7) 集合A，B都是方程(组)解的集合，但A中有两个元素-1，7，而B中只有一个元素(-1， 7). 类型二:元素与集合的关系 3(用符号“”或“”填空( (1)0_N;(2)-1_ N;(3)_ Q;(4)_Z;(5)0_;(6)_Q.
13、 思路点拨:确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定. 解:(1);(2);(3);(4);(5);(6). 举一反三: 【变式1】用符号“”或“”填空( (1) (2) (3) 思路点拨:给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是:弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小;对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程;对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性. 解:(1) (2) 令，则 令，则 2 (3) ?(-1，1)
14、是一个有序实数对，且符合关系y=x， ? 总结升华:第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢,还是装了些n呢,要特别注意描述法表示的集合，是由符号“,”左边的元素组成的，符号“,”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的;而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集. 类型三:集合中元素性质的应用 4(定义，若M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，则N-M=( ) A. M B. N C.
15、 1，4，5 D. 6 思路点拨:由的定义可得，在集合N中含有M中的2，3两个元素，而不含有6，故N-M=6，选D。 5(，则M=( ) A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4 解析:集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以 由aZ，所以-1?a?4 当a=-1时，符合题意; 当a=0时，不符合题意; 当a=1时，不符合题意; 当a=2时，符合题意; 当a=3时，符合题意; 当a=4时，符合题意. 故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M=-1，2，3，4，选项D正确. 2 6(已知集合M=x|ax+2x+1=0中只含有一个元素，则a=_. 2 思路点拨:由集合M中只含有一个元素可得，方程ax+2x+1=0有一
