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1、二重积分的计算与金融应用 摘 要在定积分的学习里面我们知道，定积分其实也是导数的逆运用，在几何的意义理解上是在一定区间里求二维平面图形的面积，但是也有正负之分。同样引申到二重积分，是根据一定的区域内，求解一个三维立体图形的体积，由二维平面图形转换到三维立体中，也是有正负之分的。在数学分析的二重积分中，列出了几种微积分的基础计算方法，并没有深入研究。随着现代科学技术的发展比如说MATABLE的发展，很多的解决方法都是依靠工具，并没有形成自己的一套解决问题的思路，在此文中我将论述以下几种基础的解决方法和几种特殊的解决方法：直接利用定计算、利用变量转换法计算、利用极坐标系计算、根据函数的奇偶性或者区
2、域对称性进行计算、根据格林公式计算、轮换法计算、根据二重积分的几何意义计算，本文中最新颖的地方也是在解决布朗运动中求最大值的问题时，如果采用基本的概率论和数理统计中分布函数和大数定律可能很难解决，若借助二重积分的理论和概率论的结合来计算会更为的方便，对于一些些无法解决的实际问题，在意下文中都会有很好的应用和体现。除此之外还有利用二重积分解决经济学中的实际问题，有些经济学上的金融问题用一般的方法求解不出来，可利用二重积分的积分中值定理解决，也是一种很简便的方法。关键词：二重积分、计算方法、二重积分布朗运动应用、二重积分金融应用。AbstractWe know that in study of t
3、he definite integral, definite integral is the inverse using derivative, on geometric meaning understanding is in a certain interval in the area of the two-dimensional plane figure, but there are positive and negative. It is also extended to double integral, which is based on a certain region, to so
4、lve the volume of a three-dimensional figure, which is transformed from two-dimensional plane graph to three-dimensional, and also has positive and negative points. In the double integral of mathematical analysis, the basic calculation methods of several kinds of calculus are listed. With the develo
5、pment of the development of modern science and technology such as MATABLE, many solutions are rely on tools, has not formed its own set of the train of thought to solve the problem, in this article I will discuss several basic solution and some special solutions: Directly using the method of calcula
6、tion, using the variable transformation calculation, using the parity of the polar coordinates calculation, according to the function or area symmetry calculation, according to the green formula, rotation method, according to the geometric meaning of double integral calculation, in this article, the
7、 novel places in solving the problem of seeking maximum of Brownian motion, using the basic theory of probability and mathematical statistics in the distribution function and the law of large Numbers can be difficult to solve, if by means of double integral of the combination of theory and probabili
8、ty theory to calculate would be more convenient, can solve the practical problems for some more, in this paper, we will have a very good application in think and reflect. In addition to using the double integral to solve the practical problems in economics, the financial problems in economics with g
9、eneral method not to come out, can use double integral mean value theorem of integral solution, is also a very simple method.Key words: double integral, calculation method, double integral Brownian motion application, double integral financial application.目 录第1章 绪论.1第2章 二重积分的基本知识.22.1 二重积分的概念和定义.22.
10、2 二重积分的意义.32.3 二重积分的性质.3第3章 二重积分的计算方法.63.1 二重积分的一般计算方法 .53.2 二重积分的特殊计算方法.8第4章 二重积分的金融应用.11 4.1 二重积分的布朗运动应用.114.2 二重积分的金融应用.13第5章 总结 .15参考文献.16致 谢.18第一章 绪论微积分是以实数、函数和极限为基础的。二重积分是一种，不能说是最重要的一种。但要理解二重积分的概念和性质，要理解二重积分的几何意义和二重积分与定积分之间的联系，在本质上比较二重积分的大小并估计其范围。二重积分的值。学习高数微积分是很重要的。它的一部分在二重积分的概念上可能没有明确文字概念，其实
11、通过对微积分的学习，可以推广出来二重积分的定义，定积分是二维平面图形上的积分，二重积分则是三维立体的，不仅有正负之分，而且会比定积分更复杂一些，多了积分区域，积分区域要找准，但是找到积分区域，如果被积分式子比较复杂，将会影响解题的方法选择，根据课本上的定义计算方法，有些是计算不出来的，或者说计算方法很复杂，导致结果出错。因此本文会论述几种比较简洁的计算方法，根据所给的积分区域性质和特点选择对应的解决方法。事实上，二重积分在实际中有着广泛的应用。双积分可用于求解空间的体积和表面积。在物理力学中，二重积分也起着不可或缺的作用。本文给出了二重积分的定义和一些性质。在此基础上，总结了三种常用的双积分计
12、算方法和计算技巧，即直接坐标系法、变变法法和极坐标法计算法。本文计算和使用旋转法计算和使用二重积分的几何意义，研究了一些二重积分在经济学、空间体积计算、表面积计算、计算曲线积分和曲线面积等方面的应用。还有一种应用是在概率方面的应用，在随机变量函数求解概率是会遇到一些求解不出来的积分，可利用二重积分的性质和计算方法解决。概率积分是最重要的积分之一。它广泛应用于数学方程、概率论等。通过对概率积分内容的深入分析，找出它们之间的内在联系，从而提高教学效率，并在短时间内获取大量信息。二重积分还可以运用于金融学中，有些实际问题利用一般的计算方法是解决不了的，可利用二重积分的积分中值定理解决，在本文中就会有
13、体现。同时学生可以系统地、系统地理解这一部分的内容，并在理解的基础上记住它，最终达到掌握的目的。鉴于许多实际问题，我们可以用自己掌握的方法，独立地分析和分析问题，合理地解决问题，从而提高学生的数学思维能力。第二章2.1 二重积分的概念与定义2.1.1二重积分的概念概念：设一个立体的底是面上的闭区域D，他的侧面是以边界曲线为准线，而母线平行于Z轴的柱面，他的顶是，这里且在D上连续的这种立体叫做曲顶柱体。2.1.2二重积分的定义定义：设z=f(x,y)为有界闭区域A上的有界函数， (1)把区域A任意划分成n个小块,其面积记作； (2)在每一个子域()上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,
14、即作出和数 (4)记住子域的最大直径d，.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当上述和n+无穷大和D到0的极限存在时，这个极限称为函数在区域（a）上的二重积分。其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,，称为被积表达式,称为积分区域.1.如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即：.2. 对二重积分定义的说明(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关当在有界闭区域上是连续的时，必须定义中和的极限，即必须存在二重积分。在闭区域D上的二重积分存在的必要条件连续是二重积分存在的充分条件。2.2 二重积分的意义2.2.1二重积分的几何意义若 表曲顶柱体的体积；若 表曲顶柱体的体积；若 表区域D的面积；几个特殊结果：2.2.1二重积分的物理意义根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等）即：
