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1、两角和差的余弦公式的推导(1 )在 C3中，。n3项| ”(2)在八CW 中，OK = OD在(E/)中，(小 E所以，CE = m cos(3)在矩形中，/(T =在 中，/ = R)sin/= / 小 in”(4)综合起来，有cos (a /3) = cos a cos /3 + sin a sin /3两角差的余弦公式得证。点评：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解。但这种推导 方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。这种推导方法的另一个问题是，公式是 在Q.，均为锐角的情形下进行的推导，因此还要考虑，从均为锐角到均为任意角的推广问 题。据图可知，j4C|
2、2 = (cos (a + l) + (sin (a 十目)一。) =2 2 cos (a 十 B)BD = (cos a cob(-/?)2 + (sin a siif/?)2 = 2 2(cosacos sin a Bin.AC = BDcos (a + 月)=cos a cos /3 sin a sin /3点评：该推导方法巧妙地将三角形全等和两点间的距离公式结合在一起，利用单位圆上与角，相关的四个点4(1,0), B(cosa,sina), C(cos(a + P),sin(a + 月)，Z(cos(/3),sin(/?)建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以同时等到符合要求的和
3、角H与差角h -的三角公式。在此种推到方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对 在一 条直线上的特殊情形需加以解释、说明。方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导两角和差的余弦公式BC2 = OA2 + OB2 - 2OAOBcos (a 仞=2 2 cos(a - (3)如图所示，在N中由余弦定理，有另一方面，由两点间的距离公式，有BC2 = (cosa cos8)2 _|_ (sin a sin /3)2 = 2 2(cos a cossin a sin /3)综合两式即得cos (a (3) = cos a cos /3 + sin a sin /3点评：该推导方法的解题思路和构想都是
4、容易实现的。因为要求两角Q. i的和角H i与差 角Q -的三角函数，所以构造出和角H ，与差角H 是必须实现的，构造出的和角与差 角的余弦函数又必须与的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距 离公式建立起等式关系的想法容易出现因此此种方法是推导两角和与差的余弦比较容易理 解的一种方法。但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必 修四中无法使用，另外也需对。共线时给出解释说明。方法四：应用数量积推导两角差的余弦公式如图所示，向量（舟 in以E3inQ），故由向量的数量积的定义，得况.旋=OB - OC - cos(Q 们=cos (a - /?)另一方面
5、，由数量积的坐标表示，有=(cos 8, sin 仞 (cos a, sin q) = cos a cos /3 + sin a sin (3综合上述两式，即得cos (a (3) = cos a cos /3 + sin a sin /3点评：应用数量级推导余弦的差角公式，无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三 角函数值，都是容易实现的；通过向量的数量积的定义和坐标表示两种计算法，将差角的余 弦与每个角的三角函数紧密联系起来，正好得到想要的结果。这个推到方法也充分体现了向量在数学中的桥梁作用。方法五：应用三角形面积公式推导两角差的正弦公式如图所示，由三角形面积公式，有Sabc =sin(a
6、 +Sa abd = BDAD = ABsin aAC cos (3 = ABAC sin a cos (3Sacd = i|4B| cos a|AC*| sin= |4B|AC| cos a sin3再有S/XATir = Sa A RD I Sa 4iCD得到sin (a + 6) = sin a cos (3 + cos a sin点评:该推导方法通过三角形的面积的和将两角和的三角函数与各个角的三角函数联系在一 起了，体现了数形结合的特点。不足之处是，公式仍然是在两个角都为锐角的情形下进行的 推导，因此仍需对角的范围进行拓展。综合点评：从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的数学方法体现 了不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深。
