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1、平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以 使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3 个点：以已知三个 定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便例题解析例 如图 1-1
2、，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x22x+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)， 与y轴交于点C,顶点为P,如果以点P、A、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过MAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线 两两相交，产生3个符合条件的点D (如图1-2)由 y=x22x+3 = (x+1)2+4，得A(3,0), C(0, 3), P(1, 4).由于 A(3,0)右3，上3C(0, 3),所以 P(1, 4)右3，上3 D1(2, 7)由于 C(0, 3)下3,左3A( 3,0),所以P(1, 4)下3,左3D2(4,1).由
3、于 P(1, 4)右 1,下 1C(0, 3),所以 A(3,0)右 1,下 1 D3(2, 1).我们看到,用坐标平移的方法,远比用解析式构造方程组求交点方便多了J12/7A/ OBrD3图 1-2例 如图2-1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行 四边形，求点 M 的坐标图 2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准.由 y= x2+2x+3=(x+l)(x3),得 A(1， 0)， B(3, 0). 如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与
4、AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点(1,0)对称，所以点M的横坐标为2.此时M(2，3). 如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM/AB, PM =AB=4.所以点M的横坐标为4或一4.所以M (4,-5)或(一4,21).我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的图 2-2图 2-3图 2-4例 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点 B,点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D,使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.图 3-1【解析】由y=-x+4,得A(4, 0),直线AB与坐标轴的夹
5、角为45.在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准.如图3-2,如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于 OA的对称点D的坐标为(2,2).如果 OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4),那么正方 形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4).如图3-4,以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(4-2运,2込)和C (4 + 22, -22)，点C和C向左平移4个单位得到点D(-22,2畧2)和D(22, -22).图 3-2图 3-3图 3-4416例 如图4-
6、1,已知抛物线y二x2 + x与x轴的负半轴33H交于点C,点E的坐标为(0, 3)，点N在抛物线的对称轴上，点: IM在抛物线上，是否存在这样的点M、N,使得以M、N、C、EcVHJo为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若 不存在，请说明理由. : /图 4-1【解析】C(4,0)、E(0,3)两点是确定的，点N的横坐标一2也是确定的.以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：如图4-2，当CE为平行四边形的边时，由于C、E两点间的水平距离为4,所以M、N两点间的水平距离也为4,因此点M的横坐标为一6或2.将x=6和x=2分别代入抛物线的解析式，得M(6,16)或(2,
7、16).16如图4-3,当CE为平行四边形的对角线时，M为抛物线的顶点，所以M(-2,-丁).例如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22ax3a (a0)与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧)，点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交 于点C,且CD=4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、 Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.图 5-1【解析】由 y=ax22ax3a=a(x+l)(x3),得 A(1, 0).由 CD=4AC,得 xD=4.所以 D(4, 5a).已知A(-1, 0)、D(4, 5a)
8、, xp=1,以AD为分类标准，分两种情况讨论：如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD/QP，AD=QP来两次平移坐标. 由于A、D两点间的水平距离为5,所以点Q的横坐标为一4.所以Q(-4,21a). 由于A、D两点间的竖直距离为一5a，所以点P的纵坐标为26a.所以P(1, 26a). 根据矩形的对角线相等，得AP2=QD2.所以22+(26a)2=82+(16a)2.整理，得7a2=1.所以如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP/QD，AP=QD来两次平移坐标. 由于A、P两点间的水平距离为2,所以点Q的横坐标为2.所以Q(2,-3a).由于Q、D两点间的竖直距离为一8a
9、，所以点P的纵坐标为8a.所以P(1, 8a). 再根据 AD2=PQ2，得 52+(5a)2= 12+(11a)2.整理，得4a2=1.所以a = -* .此时P(1,-4).我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与 坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系.上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是 直角的平行四边形叫矩形”来列方程.如图5-2,如果ZADP=90,那么MA =心D ；如图5-3，如果ZQAP=90,那么 MD NPGQ _ KAGAKP图 5-2图 5-3例 如图6-1,将抛物线c1：
10、y = -/3x2+、N沿x轴翻折，得到抛物线c2.现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交 点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶 点为N与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M若不存在，请说明理由【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来(如图6-2)，如果您看到了AMAB和ANED是边长为 2 的等边三角形，那么平移就简单了.如图6-3,在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所
11、以四边形 ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心.【解法一】如果ZANE=90，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2EN =4.而AE=AO+OE=2AO,所以AO = 2.已知AB=2，此时B、O重合(如图6-4)，所以 m=BO=1.【解法二】如果对角线MN=AE，那么OM=OA，此时AMAO是等边三角形.所以等 边三角形MAB与AMAO重合.因此B、O重合，m=BO=1.【解法三】在平移的过程中，A(1 m,0)、B(1 m,0) ， M(m, 73)，根据OA2 = OM 2列方程(1+m)2=m2+3.解得 m = 1.氷na/D图 6-2图 6-3图 6-4例
12、 如图7-1，菱形ABCD的边长为4，ZB = 60，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE=CG.(1) 求证四边形EFGH是平行四边形；(2) 当四边形EFGH是矩形时，求AE的长;(3) 当四边形EFGH是菱形时，求AE的长.【解析】(1)证明三角形全等得EF=GH和FG=HE大家最熟练了.(2)平行四边形EFGH的对角线FH=4是确定的，当EG=FH=4时，四边形EFGH是矩形.以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2.如图7-3,当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形. 如图7-4,当E与A重合时，ABG与
13、ADCE都是等边三角形.(3)如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形. 过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了.在 RtAAOE 中,ZOAE =60。，AO=2，此时 AE=1.又一次说明了如果会画图，答案就在图形中.图7-2图 7-3图 7-4图 7-5例 如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)， 点C的坐标为(0, m),过点C作CE丄AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD = 2OC，连结DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA.(1) 如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；(2) 如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值.图 8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图.我们注意到，点A和直线AB (直线1) 是确定的.如图8-2,先画x轴，点A和直线1.在直线1上取点E,以AE为对角线画矩形DEFA.如图8-3,过点E画直线1的垂线.画ZMDN，使得DN=2MN, MN丄DN,产生点C. 如图8-4,过点C画y轴，产生点O和点B.图 8-2图 8-3图 8-4您是否考虑到，画ZMDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5. 同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形.图 8-5 图 8-6 图 8-7
