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1、专题训练（四） 特殊平行四边形中的五种折叠方式 方式一 把一个顶点折叠到一边上1. 如图4ZT 1,矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC上的点F处.若AE=5, BF=3，则CD的长是（）A7 B8 C9 D10图 4ZT12. 如图4ZT2,在菱形ABCD中，ZBAD=120，点E, F分别在边AB, BC上， BEF沿EF折叠得到厶GEF,且点G在边AD上.若EG丄AC, AB=6 （2,则FG的长为.图 4ZT2交AE于点G,连接DG.3. 如图4ZT 3,在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落 在边BC上的点F处，过
2、点F作FGCD,（1）求证：四边形DEFG为菱形；若CD=8, CF=4,求D|的值.图 4 ZT 3 方式二 把一个顶点折叠到对角线上4. 如图4ZT4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使点B落在对角线 AC上的点F处，折痕为AE,且EF=3，则AB的长为（）A3 B4 C5 D6图 4 ZT 45. 如图4-ZT-5所示，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE,且点D落在对角线上的点D处.若AB=3, AD=4,则ED的长为（）A.3 B. 3 C. 1图 4-ZT-5 方式三 把一个顶点折叠到另一个顶点上6. 把一张矩形纸片ABCD按图4ZT 6所示
3、方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF,若AB=3 cm, BC=5 cm,则重叠部分ADEF的面积为cm2图 4ZT7叠，则图中阴影部分的周长为（A. 8 说 B. 4 C. 8D图 4ZT67. 如图4ZT 7所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD 于点E,交BC于点F,连接CE.（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设 AE= a, ED= b, DC= c 方式四把一个顶点折叠到图形外或图形内_将正方形ABCD沿直线EF折8. 如图4ZT8，已知正方形ABCD的对角线长为2迈,图 4ZT89. 如图4ZT9，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6, E是A
4、B边的中点，F是线段BC上 的动点，将BF沿EF所在直线折叠得到 EB F,连接B，D,则B，D的最小值是（）A. 2 怖一2 B. 6 C. 2 帀一2 D. 4图 4 ZT 910. 如图4-ZT-10,矩形ABCD中，点P, Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E,交线段PQ于点G.若线段BC的长为3,则线段FG的长为.图 4-ZT-1011. 如图4ZT 11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD,使点B 落在点P处，折痕为EC,连接AP并延长交CD于点F,连接BP.(1) 求证：四边形AECF
5、为平行四边形；(2) 若卩是等边三角形，求证：APB9AEPC；(3) 若矩形ABCD的边AB=6, BC=4,求ACPF的面积.BC图 4ZT11方式五 多次折叠12. 2018 资阳如图4ZT 12，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无 缝隙、无重叠的四边形EFGH, EH=12 cm, EF=16 cm,则边AD的长是()A12 cm B16 cmC20 cm D28 cmBF C图 4ZT1213. 准备一张矩形纸片ABCD，按如图4ZT 13所示操作：将AABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将ACDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的点N处.(1) 求证
6、：四边形BFDE是平行四边形；(2) 若四边形BFDE是菱形，AB=2,求菱形BFDE的面积.BC BF C图 4ZT1314. 如图4ZT 14，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A，处，然后 将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此 时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图.求证:EG=CH；求 AD 和 AB 的长.DAr C图 4ZT14详解详析1. 解析C由折叠的性质得EF=AE=5.由勾股定理得BE=4,.AB=CD=9.2. 答案36解析四边形 ABCD 是菱形，ZBAD=120,.ZB=60,ZBAC=60 . /EG丄A
7、C,.ZAEG=30 .1由折叠可知，ZBEF=2X (180ZAEG) =75,/.ZBFE=180（ZB+ZBEF）=45 . AZBFG=90，即 FG丄BC. /.FG=BC边上的高=3 -J6.3. 解：证明：由折叠的性质得Z1 = Z2, ED=EF, GD=GF. /FGCD,.Z1 = Z3，则 Z2=Z3,AEF=GF,（方法一）（如图）ED=EF=GD=GF,.四边形DEFG为菱形.（方法二）（如图）AED=GF.又.EDGF,.四边形DEFG为平行四边形.又vEF=GF,Ao DEFG为菱形.（方法三）连接DF交AE于点0（如图），则EG丄DF, DO=FO. /EF=G
8、F, EG丄DF,.OG=OE,四边形DEFG为平行四边形，二口 DEFG为菱形.ADBF C图(2)设 DE=x,则 FE=DE=x, CE=8x. 在 RtAEFC 中，CF2+CE2 = EF2,即 42+(8x)2 = x2，解得 x=5,ACE=8 x = 3,AC|=5.4. 答案D5. 答案 A6.答案5110解析设ED=x cm,则根据折叠和矩形的性质，得Az E=AE= （5 x）cm, Az D=AB = 3 cm.根据勾股定理，得ED2=A, E2+Az D2,17即 X2=(5x)2+32，解得 x=,.c 11751 /、 SaDE=2X 5 X3=(cm2)-7.
9、解：证明：/四边形ABCD是矩形，.ADBC,.ZAEF=ZCFE.由折叠的性质，可得ZAFE=ZCFE, AF=CF,.ZAEF=ZAFE,.AF=AE,.AF=CF=AE.又/AD,=CD,ZD,=ZD, D E=DE,.AD E9ACDE,.AE=CE,/. AF=CF=AE=CE,.四边形AFCE为菱形.(2) a, b, c三者之间的数量关系为a2=b2+c2理由如下：由知CE=AE.四边形ABCD是矩形，.ZD=90 ./AE=a, ED=b, DC=c,.CE=AE=a.在 RtADCE 中，CE2=ED2+DC2,即 a2= b2c2.8. 答案C9. 答案A10. 答案掲解析
10、由折叠可知 CEF9ACEB,.FC=BC=3,ZECF=ZECB.由P, Q分别是矩形11ABCD 的边 AD,BC 的中点，得 ZFQC=90 . vQC=2BC=2FC,ZCFQ=30,/.ZFCQ=60, .ZECB=ZECF=ZCFQ=30,.FG=CG=3.11. 解:证明：在矩形ABCD中，ABDC.E 为 AB 的中点,.AE=BE.又由翻折知：EC丄BP, EP=EB=AE,/.Z EAP=Z EPA,Z EPB=Z EBP.在厶ABP 中，ZEAP+ZEPA+ZEPB+ZEBP=180,.Z EPAZ EPB=Z APB= 90，. EC AF，./四边形AECF为平行四边
11、形.证明：AEP是等边三角形，. AP=EP=AE，ZPAB=ZAEP=ZAPE=60，.Z PEC=Z BEC= 60 .由折叠的性质，得ZEPC=ZEBC=90 .由知 ZAPB=90,./ZAPB=ZEPC,/.APBEPC.(3) VAB=6, BC=4, E 是 AB 边的中点，1/.AE=BE=2AB=3.在 RtABEC 中，EC=J1 BE2+BC2=5,.四边形AECF为平行四边形，. AF= EC= 5.如图，设CE与BP交于点H./BE BC=EC BH,12酬=孑/.PH=BH=,/BP=24.5518在 RtABPA 中，AP=.JAB2 BP2=t，pfV过点C作C
12、G丄AF交AF的延长线于点G,.CG=PH=1251 1 7 12 42BCcpf 的面积pPF cG=2x5xlf=25-点评(1)抓住翻折图形的特点：对应边相等，对应角相等.进而抓住AE=BE=PE的 图形特点一A，P，B三点构成的三角形是直角三角形.(2) 本问考查等边三角形的性质、三角形内角和、全等三角形的判定等知识(3) 本问考查了平行四边形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识12. 解析C设点A，B折叠后的对应点为M，VZHEM=ZHEA，ZFEB=ZFEM,/.ZHEF=ZHEM+ZFEM=1(ZAEM+ZBEM) =*x 180=90同理，ZEHG=ZHGF=90,四边形EFG
13、H为矩形，.EF=HG.ADBC,.ZDHF=ZHFB,/.ZDHG=ZBFE，.RtA BEFR 仏 DGH，.BF=HD.HA=HM, BF=MF,.HD=MF,/. AD=HA+HD=HM+MF=HF=；EH2 + EF2=冷 122+162 = 20(cm). 故选C.13. 解：证明：四边形ABCD是矩形，.ABCD,.ZABD=ZCDB.又由折叠的性质，知 ZABE=ZEBD,ZCDF=ZFDB,AZEBD=ZFDB,AEB#DF. 又.EDBF,.四边形BFDE是平行四边形.四边形 BFDE 是菱形，.BE=ED,ZEBD=ZFBD=ZABE.T 四边形 ABCD 是矩形，二AD
14、=BC,zABC=90,.zABE=30 .2 V34 V3/ZA=90, AB=2,.AE=, BF=BE=2AE=, 33菱形BFDE的面积为4 严2=誓14. 解：证明：当DE是折痕时，DE平分ZADC, /.ZADE=ZEDC=ZAED,aAD=AE.当EF是折痕时，AE=EG,.AD=EG当CE是折痕时，CH=BC.四边形ABCD是矩形，.AD=BC,.EG=CH./ZADE=45,ZFGE=ZA=90, AF=.2,DG=FG=AF=2, DF=2,.AD=AF+DF=、j2+2.由折叠知 ZAEF=ZGEF,ZBEC=ZHEC, .ZAEF+ZBEC=9O ./ZAEF+ZAFE=90, /.ZBEC=ZAFE.又TZA=ZB=90, AE=AD=BC, .
