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1、教案用微积分推导Newton的万有引力定律复旦大学於崇华Newton万有引力定律宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数为了推导内在的定量关系即数学规律,先要将行星运动定律用数学形式表达出来。Kepler第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭太阳在椭圆的一个焦点上。以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为r = P91 一 ecosQ这里p =是焦参数，e= J1-4是离心率，和分别是椭圆的半 aV a-长轴和半短轴。设在/时刻：行星与太阳的距离为r = r (0,它们的连线与极轴
2、的夹角 为8 = 8(0,则行星的坐标可以用向量记号表示成r = （r cos 0, r sin 0） o先从Newton第二运动定律F = ma入手将r分解成水平分量r cos 0和垂直分量r sin 0 ,利用运动 的独立性原理，用Newton第二运动定律_ d2rF = ma -,d t分别求它们的二阶导数后再合成。记行星沿极径方向的速度： 黑三/ （称为径向速度）d 2 r .加速度：了7丁三厂（称为径向加速度），d e 八Ci3 _ 角速度：y三3角加速度：吊J2(rcos0)ItJ2(rsiii0)dt利用复介函数的求导法则V和&都是/的函数），行星在x方向和 方向上的加速度分量分
3、别为r cos0 一 2rco siii 0 一 rcb sin 0 + co2 cos0= (r-/xo2)cos0-(2n + Hi)siii0;-rsiiiO +2hbcos0+rcbcos0 -co2 siiiO=(2rco + rco)cosO + (r 一 rco2)sin0 c记r方向上的单位向量G = 7=（cos0,siiiO）,则加速度向量d2rdr2r-n2)厂oz 2rco+ rco 、.+()roco(1)为了得到行星运动规律，必须求出厂一如2与 ，CO 而求这两个量只能借助其它的关系式试着将Kepler的行星运动第二定律用数学形式表达出来:Kepler第二定律：单位
4、时间中，极径扫过的那块椭圆的131记d A是极径转过角度d。所扫过的那块椭圆的面积，则由 极坐标下的面积公式的微分形式，d A = r1 d0 ,因此，单位时间中扫过的面积dA 1记行星绕太阳运行一周的时间为厂，则经过丁时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的而积兀ab ,由定积分的定义和性 质，利用微元法，即得因此常数两边求导后得到(r2co)z = 2rrco + r2cb = 02r co + r cd = 0这样，（i）的最后一项就去掉了，等式成为a = =(r-7XD2)ro(2)这表示：行星在任一点的加速度的方向(也就是受力的方向)恰 与它的极径同向。从求加速度分量的过程可以发现，加速
5、度的值亍一皿2来自对rcos。(或rsin 0 )求二阶导数，而椭圆方程p = r(l -cos9)中恰含有厂cos。项。这提示我们，可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出 f d 2 (r cos 0 )=r -(r - rco2)ecos0 =(r rco2 )(1 -ecosG) + rco2r rco2 p + rco2所以r-HB2 =(r2co)2 14 兀匕2 夕；=_ T1a3 1(3)=-4k2T2 r2 Kepler第三定律：椭圆的半长轴a的三次方和运行周期T的平方成正比，即帀=常数，记太阳的质量为M ,有4兀2 a3 MmF = ma = nir-K)rQ = -
6、( yy) 0 ,记万有引力常数4冗2小G =u6.67x 10-炖/kg-s2)9便得到万有引力定律的数学表示Mm宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数说明(1) 以上只是论证了力有引力定律对太阳行星系统是正确 的。但以后的科学工作者(包括Newton本人)一系列的观测和 实验数据证实，它确实“放Z四海而皆准”，适用范围从天体运 动延展到微观世界，令人信服地辿地解释了许多物理现彖，并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子：计算出哈雷彗星的轨道和运行周期：发现海王星和冥王星；正确解释了潮汐的
7、起因和规律；计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。(2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实 际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型z。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。(3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的，因此 学好前人的科学总结，即打好基础对于培养创新精神极为重要。(4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如： 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具 体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。(5) 若承认Newton万有引力定律，用微积分作为工具，也可导 出Kepler的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在 联系(今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习)
