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1、 第五章 定积分 教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、
2、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作
3、平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=max
4、Dx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dt
5、i内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, , DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i-1t i t i), 以t
6、 i时刻的速度v(t i)来代替t i-1, t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 当l0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 xn-1xn =b把区间a, b分成n个小区间: x0, x1, x1,
7、 x2, x2, x3, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 (i=1, 2, , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 . (3)记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲边梯形面积的精确值为 . 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个小时间段: t0, t1,
8、t1, t2, , tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值为 . (3)记l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精确值为 . 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间a, b分成n个小区间x
9、0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x i xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1b时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 证明:
