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1、经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1.如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、 如图，已知：在中，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用4.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于
2、一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程类型四：利用勾股定理作长为的线段 6.作长为、的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形
3、ABCD的面积 【变式2】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 【变式1】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，
4、那么学校受影响的时间为多少秒？ 【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法方程的思想方法3.如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 类型一：勾股定理的直接用法答案ACD=90 AD=13, CD=
5、12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， （的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有. 又 （已知）， . 在中，根据勾股定理有 ， . 分析：如何构
6、造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H 解
7、：OC1米 (大门宽度一半)， OD0.8米 （卡车宽度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得 CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图（3）中，在RtABC中 同理 图（3）中的路线长为 图（4）中，延长EF交BC于H，则FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282
8、.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电 解： 如图，在Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是
9、9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b
10、2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 【答案】：连结ACB=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明： 所以ABC是直角三角形. 【答案】答：DEEF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2
11、=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得：n2
12、4 n2，但当n2时，n+110，n2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择D， 82（40+39）（4039）， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A解：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理 AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2 ACD
13、=90（勾股定理逆定理） S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖
