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1、知识点 9：应力状态理论和强度理论一、 应力状态理论（一）应力状态的概念1. 一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截 面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力 状态。2. 研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单 元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面 上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的 三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法 确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的 应力为已知。3. 单元
2、体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应 力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用o，o和o来表示，它们按代数值123大小顺序排列，即o o o。1234. 一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况 可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不 等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时， 称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态 称为简单应力状态。5. 研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。（二
3、）平面应力状态的分析1. 分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时 都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的 应力。2. 应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面， 应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截 面上的应力值；单元体两截面夹角为a,应力圆上两对应点中心角为2 a；应力 圆与o轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最 大切应力值。3. 在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一 对与主平面夹角为4 5。的最大(最小)切应力截面。4. 在平面
4、应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。图9-1 (a)所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x轴垂直 的平面称为x平面，其上有正应力o和切应力p ；与y轴垂直的平面称为y平面，xxy其上有正应力o和切应力p ；与z轴垂直的z平面上应力等于零，该平面是主平 yyx面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1 (b)所示单元体的平面图来 表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转 90。所得的方向为 正，反之为负。a)b)图 9-1c)图9-1 (c)所示斜截面的外法线与x轴之间的夹角为a。规定a角从x轴逆时针向转到截面外法线n方向时为正。a斜截面上的正应
5、力和切应力为：o +o o oo =x 丄 + x丄 cos 2a p sin 2aa 2 2 xyo op =x4 sin 2a +p cos 2aa2xyy2o最大正应力和最小正应力omaxomin最大正应力和最小正应力是平面应力状态的两个主应力，其所在截面即为两个主平面，方位由下式确定：2ttan 2a = xy0 G -Gxy最大切应力和最小切应力T+ T 2xymaxTmin最大切应力和最小切应力所在截面相互垂直，且和两个主平面成45。，其方 位由下式确定：G -Gtan 2a = xyi2txy三）平面应力状态分析的图解法1. 在g, t直角坐标系中，平面应力状态可用一个圆表示，如
6、图9-2所示。其圆心坐标为+GxyI 2,0丿丿丿半径为l( G -G )2。该圆周上任点的坐标都对应着单元体上某一个a截面上的应力，这个圆称为应力圆。图 9-2四）三向应力状态1. 在三向应力状态分析中，通常仅需求出最大（最小）正应力和最大切应 力。如欲求空间任意斜截面上的应力，则应用截面法求得。2. 在三向应力状态中，如已知一个主应力值和另外两对非主平面上的正应 力和切应力，应由两对非主平面上的正应力和切应力分别求出另外两个主应力， 然后根据三个主应力的大小分别写出o , o和o。1 2 3（五）广义虎克定律与体积变形1 广义虎克定律广义虎克定律表示复杂应力状态下的应力应变关系，虎克定律o
7、=Es表示单 向应力状态的应力应变关系。工程实际中，常由实验测得构件某点处的应变，这时可用广义虎克定律求得 该点的应力状态。以主应力表示的广义虎克定律 = 0 - U(O +O )1 E 123 。1 2 3 1 2 3 1 2 3如果单元体的各面上既有正应力又有切应力时，不计切应力对单元棱边的长度变化的影响，广义虎克定律为 =丄匸-U(o +o ) xExyz = 1 ty - U(o +o ) yEyzx = 1 ty - U(o +o ) zEzxyYxyYyzYzx2体积变形图 9.3图 9-3 所示单元体的单位体积变化（即体积变形）为0 = 8 +s +81231设平均主应力G =（
8、G +G +g ），则体积改变虎克定律为m 3 1 2 30_G0 m式中 K E3（1 2卩），称为体积弹性模量。（六）平面应变分析1本章所指平面应变状态是平面应力所对应的应变状态，不同于弹性力学 中的平面应变状态，研究的范围仅限于应变发生在同一平面内的平面应变状态。 切应变为零方向上的线应变称为主应变，各向同性材料的主应力和主应变方向相 同。2. 在用实测方法研究构件的变形和应力时，一般是用电测法测出一点处几 个方向的应变，然后确定主应变及其方向，进行应变分析。3 在进行一点的平面应变分析时，首先应测定该点的三个应变分量8 , 8 xy 和Y。由于切应变难以直接测量，一般先测出三个选定方向
9、a , a , a上的线应 xy 1 2 3变，然后求解下列联立方程式+-Y =X.y+Xycos2axysin 2aa122121+-Y彳Xy+Xycos2a-sin 2aa222222+-Y :Xy+Xycos2axy-sin 2aa322323即可求得 , 和丫。x y xy实际测量时，常把a , a , a选取便于计算的数值，得到简单的计算式，以123简化计算。如选取a = 0。，a = 4 5。，a = 9 0。，则得到1290。0。yY - 2+xy0。45。90。主应变的数值2+ ( - )2 + (- )220。45。 +1 二一0-45。90。 22主应变方向2 - -tan
10、 45o90。0 -0。90。4一点的应变分析完成后，可用广义虎克定律求得该点的应力状态强度理论（一）强度理论的概念1 杆件在轴向拉伸时的强度条件为式中许用应力t= , G。为材料破坏时的应力，塑性材料以屈服极限G （或G ）n s 0.2为其破坏应力，而脆性材料则以强度极限O为其破坏应力。简单应力状态的强度b条件是根据试验结果建立的。2. 材料的破坏形式大致可分为两种类型：一种是塑性屈服；另一种是脆性 断裂。不同的破坏形式有不同的破坏原因。3. 关于材料破坏原因的假说称为强度理论。这些假说认为在不同应力状态 下，材料某种破坏形式是由于某一种相同的因素引起的。这样，便可以利用轴向 拉伸的试验结
11、果，建立复杂应力状态下的强度条件。（二）四种常用的强度理论1 .最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素。第一强度理论 的强度条件是2最大拉应变理论（第二强度理论） 这一理论认为：最大拉应变是引起材料断裂破坏的主要因素。第二强度理论 的强度条件是G 卩（G +g ） g123这一理论假设材料直到断裂前服从虎克定律。3最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力。第三强度理论 的强度条件是g g g134 .形状改变比能理论（第四强度理论） 这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是形状改变比能。第四强度理 论的强
12、度条件是丄（G Q ）2 + （G Q ）2 + （G Q ）2 2122331（三）强度理论的应用与相当应力 1运用强度理论解决工程实际问题，应当注意其适用范围。脆性材料一般是发生脆性断裂，应选用第一或第二理论，而塑性材料的破坏形式大多是塑性屈 服，应选用第三或第四强度理论。2 .工程实际中，常将强度条件中与许用应力“进行比较的应力称为相当应力，用o表示。上述四种强度理论的强度条件，可写成统一的形式xdo o(i = l, 2, 3, 4)xdi四种强度理论的相当应力分别是o=oxd 11o=o 卩(o +o )xd2123o =o oxd3131o =(o -o )2 + (o -o )2
13、 + (o -o )2xd 42122331三、难题解析【例1】一点处的平面应力状态如图9-4 (a)所示。已知o二60MPa ,xo 二-40MPa , t 二-30MPa , a = 30。试求yxy(1) a 斜面上的应力；(2) 主应力、主平面；(3) 绘出主应力单元体。解：(1) a 斜面上的应力o +oo -oo =xa + xa cos 2a -t sin 2aa 2 2xy60 - 40 60 + 40 cos( 60 ) 30sin( 60 )=+cos(-60 ) + 30 sin(-60 )22= 9.02MPab - bt =x4 sin 2a +t cos 2aa 2xy=60 + 4 sin（-60。） 30cos（-60。）= - 58.3 MPa2)主应力、b=maxb=min主平面b +bxy2b +b.b -bx丄）2 +t 2 = 68.3MPaxy b -b）2 +T 2xy=-4&3MPa所以b
