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1、一、单项选择题本大题共5小题，每题3分，共15分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集是子群.A、如B、初。允、。，a3 D2、下面的代数系统G,大 中，A、G为整数集合，*为加法BC、G为有理数集合，大为加法De, a, a、不是群、G为偶数集合，大为加法、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上,以下哪种运算是可结合的？A、a*b=abB、a*b=max a,b C、a*b=a+2b D、a*b=|ab4、设6、2、E是三个置换，其中。i = (12) (23) (13
2、) , a2 = (24) (14), a3 =1324,则E=A、b 21B 、3 J C 、b 2 2 D 、 2 b 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题本大题共10小题，每空3分，共30分请在每题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。1、凯莱定理说:任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群G中的元素的阶等于50,则a的阶等于.4、a的阶假设是一个有限整数n,那么G与同构。5、A= 1.2.3 B=25.6 那么 AEB=。6、假设映射甲既是单射又是满射，则称甲为。7、 a叫做域F的一个代
3、数元，如果存在F的。，1，a使得a 0 + a1 + a + a nan = 0则称a为8、a是代数系统A,0的元素，对任何x e A均成立x。a = x9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是。三、解答题本大题共3小题,每题10分，共30分1、设集合A=1, 2,3 G是A上的置换群，H是G的子群,H= I, 1 2 ,写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“ 是数的乘法，则“ 是E中的运算，E, 是一个代数系统，问E, 是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求a,b
4、, a,b 和 p, q。四、证明题本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分1、假设G,*是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*x=b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:ab当且仅当m | a - b。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题,每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是().A、2阶 B、3阶C、4阶 D、6阶2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数
5、的元素的个数一定等于()。A、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、以下哪个偏序集构成有界格()A、(N, )C、(2,3,4, 6,12 , | (整除关系) D、(P (A), o)5、设 S3=(1), (12), (13),(23), (123), (132),那么，在 S3 中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1), (123), (132)B、12), (13), (23)C、(1), (123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。2、如果f
6、是人与司间的一一映射，。是人的一个元，则f -1 f(。)=O3、区间1,2上的运算a M = mini, b的单位元是4、可换群 G 中 |a I =6, I x|=8,则 |ax|=5、环Zb的零因子有6、一个子群H的右、左陪集的个数7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的一8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的9、设群G中元素a的阶为m，如果a =e ,那么m与n存在整除关系为O三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、Si, S2是A的子环，则S1ES2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、
7、设有置换 b =(1345)(1245), t = (234)(456) & .-11. 求6和T b ；,、一 一 -1 一2. 确定置换6和T b的奇偶性。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分,共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、 C； 2、 D;3、 B； 4、 C； 5、 D;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、(1，-1)(1，。)(1，英，-1)(2，。)(2)； 2、单位元;3、交换环;4、整数环；5、
8、变换群；6、同构；7、零、-a ； 8、S=I 或 S=R ； 9、域；三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)1、解:把。和t写成不相杂轮换的乘积：b = (1653)(247)(8)t = (123)(48)(57)(6)可知。为奇置换,t为偶置换。和t可以写成如下对换的乘积：。=(13)(15)(16)(24)(27)t = (13)(12)(48)(57)B = - (A + Af)C = 1 (A - Af)2、解：设A是任意方阵，令 2,2，则b是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且人=B + .假设令有入=B +C ,这里B和q分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B 一 B1= C
9、1 - C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：B = B , C = q，所以，表示法唯一。3、答：(Mm, + m )不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、对于G中任意元x,y,由于(切2或，所以勺二(勺)一1 = -1 x - yx (对每个x,21从尤=e可得尤=尤)。2、证明在F里ab一1 = bla = (a b e R, b 丰 0)bQ = 所有v(a,b g R,b。0)有意义，作F的子集bQ显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5
10、小题，每题3分，共15分)。1、C； 2、D； 3、B;4、B;5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群；5、2； 6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)1、解:H 的 3 个右陪集为：I, (1 2), (1 2 3 ), (1 3), (1 3 2 ), (2 3 ) H 的 3 个左陪集为：I, (1 2) , ( (1 2 3 ), (2 3), (1 3 2 ), (1 3 )2、答：(E, )不是群，因为(E, )中无单位
11、元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3X 102+85102=1X85+17由此得到(a,b)=17, a, b =aXb/17=11339.然后回代:17=10285=102- (b-3X102) =4X102-b=4X(a-b) -b=4a5b.所以p=4 , q= 5。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明 设 e 是群G, *的幺元。令 x = a1 大b,则 a*x = a* (a1*b) = (a*a 1)*b = e*b = b。所以，x = a1*b 是 a*x = b 的解。假设 xG 也是 a*x = b 的解，
12、则 x，= e *x，= (a1*a)大x，= a1* (a*x，)=a 1*b = x。所以，x = a1*b 是 a*x = b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为a = xez；m| x-a或者也可记为a,称之为模m剩余类。假设m | a - b也记为a三bm。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题本大题共5小题，每题3分，共15分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、C； 2、C； 3、D； 4、
13、D； 5、A；二、填空题本大题共10小题，每空3分，共30分请在每题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。1、唯一、唯一;2、气3、2;4、24； 5、Z%笔 6、相等;7、商群；8、特征;9、m n;三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,beSinS2有a-b, abeSinS2：因为 S1, S2 是 A 的子环，故 ab, ab eS1 和 ab, abeS2 ,因而a
14、b, abeSinS2，所以S1ES2是子环。S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：诜4三虬I,品三:海:卜兀儿，曷见禺与&痢为子环担疽跖=:葬卜是子环.3、解：1 . u = (1243)(56), t七=(16524 );2.两个都是偶置换。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a主0 e P，由理想的定义3 = p，因而R的任意元力=b . 1 e p这就是说=R,证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab二ab(ab2a) = (aba) b2a二ab2a二e,ba=(ab2a) ba=ab2 (aba)二ab2a二e,所以b=a-1。
