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1、山东省聊城市2020届高三3月份一模考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全集及求出的补集【详解】解：集合，则， 故选：C【点睛】此题考查了补集的运算，熟练掌握定义是解本题的关键2.设，则复数的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求复数的虚部得解.【详解】，复数的虚部为.故选：【点睛】本题主要考查复数的加法和除法运算，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3
2、.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【详解】故选：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，运用的关系可得，即有双曲线的方程，可得双曲线的渐近线方程【详解】解：双曲线：的焦距为，可得，即，解得，可得双曲线的方程为，的渐近线方程为故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题5.AQI是表示空气质量的指数,A
3、QI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.6.在中，若，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解
4、析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解的值【详解】解：，可得：，由正弦定理可得：，可得：，可得：， 故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解.【详解】取的中点，连接设则所以连接因为所以异面直线与所成角
5、即为在中故选【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而分析的单调性以及的值，据此分析可得，即可得答案【详解】解：根据题意，函数，其定义域为，若为奇函数，则有，解可得，则，又由为增函数，则在上为减函数，且，即不等式的解集为；故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是求出的值，属于基础题9.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（）A.
6、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到点落在以为圆心，以为半径的圆内，再利用几何概型求解.【详解】如果过点的所有弦的长度都大于，则 则点落在以为圆心，以为半径的圆内，由几何概型概率可得，过点所有弦的长度都大于的概率为故选：【点睛】本题主要考查圆和几何概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设函数，若对于任意的，都有，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】先化简已知得，由得x=是函数f(x)的对称轴，得再求【详解】由得x=是函数f(x)的对称轴，得故选：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数求值，意在
7、考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.数学名著九章算术中有如下问题：“今有刍甍（mng），下广三丈，袤（mo）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. 5.5B. 5C. 6D. 6.5【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）
8、.【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，若关于的方程又有且只有一个实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由方程的解的个数与函数图象交点个数的相互转化得：关于的方程又有且只有一个实数根等价于函数的图象与直线只有一个交点，由导数研究函数的图象、最值得：当时，得：，当时，当时，即在为增函数，在为减函数，再结合函数的图象与直线的位置关系可得解【详解】解：关于的方程又有且只有一个实数根等价于函数的图象与直线只有一个交点，当时，当时，得：，当时，当时，即在为增函数，在为减
9、函数，综合得：的图象与直线的位置如图所示：由图可知函数的图象与直线只有一个交点时实数的取值范围为或，故选：B【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的相互转化及利用导数研究函数的图象、最值，属中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义以及二次根式的性质求出函数的定义域即可【详解】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查常见函数的性质，是一道基础题14.若满足约束条件，则的最大值为_【答案】14【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域如图所示，再利用
10、数形结合分析得解.【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A时取得最大值，由解得代入计算，所以的最大值为故答案：【点睛】本题主要考查利用线性规划解答最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.15.已知直线与圆相交于两点，若，则_【答案】1【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径和弦长的关系求出的值即可【详解】解：圆：，化为：，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，即，解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_【答案】或
11、【解析】【分析】设点的坐标为求出，再计算得到，再利用基本不等式求出最小值及此时直线的方程得解.【详解】设点的坐标为 当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质和基本不等式，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题 （本大题共7小题，共82分） 17.已知数列的前项和为，且满足.(1)求证为等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由可得，两式相减后整理得，所以，由，从而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）由
12、（1）可得到，故，再用分组求和法可得数列的前项和试题解析：（1)证明：当时，解得.因为所以 -得：，整理得，所以， 即，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. (2)由（1)知，所以，所以，所以18.如图，在长方体中，为的中点，（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）在长方体ABCDA1B1C1D1中，由已知证明COB1D1，求同理，故AOC为二面角的平面角，又可得CO平面AB1D1；（2）由（1）知，OB1平面AOC，AOC为直角三角形，且，然后利用等积法即可求得三棱锥OAB1C的体积【详解】（1）证明：在长方体中，为的中点，同理，求解
13、三角形可得，即，平面；（2）解：由（1）知，平面，为直角三角形，且【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.已知椭圆经过点，其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且，证明：直线经过定点【答案】（1）（2）直线经过定点【解析】【分析】（1）由e，b1，又a2b2+c2，即可求出椭圆的方程；（2）设l：ykx+m，联立椭圆方程，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件可得（k2+1）x1x2+（kmk）（x1+x2）+m22m+10（k2+1）（4m24）（kmk）8km+（m22m+1）（1+4k2）0，化简整理能证明直线l过定点【详解】解：（1）椭圆经过点，其离心率为，故椭圆的方程为：；（2）依题意直线的斜率存在，设不经过点的直线方程为：，由得， ，或，直线不经过点，此时，直线经过定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想，是一道综合题20.某小学为了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示（1）估算这批学生的作业平均用时情况；（2）作业用时不能完全反映学生学业负担情况
