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1、河南省焦作市2024届高三第二次模拟考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知集合，则( )A.或B.C.或D.2已知复数，在复平面内所对应的点分别为，则( )A.B.1C.D.23已知，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.若，则( )A.B.C.2D.35已知直四棱柱的底面为梯形，若平面，则( )A.B.C.D.6如图所示，( )A.B.C.D.7记椭圆：与圆：的公共点为M，N，其中M在N的左侧，A是圆上异于M，N的点，连接交于B，若，则的离心率为( )A.B.C.D.8
2、若函数在定义域R上存在最小值b，则当取得最小值时，( )A.B.C.D.二、多项选择题9在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为，（数据互不相同），其极差为m，平均数为a，则下列结论中正确的是( )A.，的平均数为B.，的第25百分位数与原始数据的相同C.若，的极差为，则D.，的平均数大于a10已知函数，为的导函数，则下列结论中正确的是( )A.函数的图象不可能关于y轴对称B.若且，在上恰有4个零点，则C.若，则的最小值为D.若，且在上的值域为，则m的取值范围是11费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若
3、点A是双曲线C（，为C的两个焦点）上的一点，则C在点A处的切线平分.已知双曲线的左右焦点分别为，直线l为C在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是( )A.C的一条渐近线与直线相互垂直B.若点B在直线l上，且，则（O为坐标原点）C.直线l的方程为D.延长交C于点P，则的内切圆圆心在直线上三、填空题12大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形，均为正方形，则_.13已知数列的前n项和，若是的等差中项，则_.14已知函数的定义域为R，且的图象关于点中心对称，若，则_.四、解答题15已知等比数列的首项为2，公比q为整数，
4、且.（1）求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，比较与4的大小关系，并说明理由.16如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角.（1）求证：平面；（2）若，二面角的正弦值为，求的值.17在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为.（1
5、）若，求第一天比赛的总场数为4的概率；（2）若，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率.18已知抛物线的焦点为F，在x轴上的截距为正数的直线l与C交于P，Q两点，直线与C的另一个交点为R.（1）若，求；（2）过点R作C的切线，若，则当的面积取得最小值时，求直线l的斜率.19已知函数.（1）若，讨论的零点个数；（2）若，是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：.参考答案1答案：C解析：由或，所以或.故选：C.2答案：A解析：由复数的几何意义可得，所以.故选：A.3答案：B解析：由题意得，解得，故时，不一定推出，而时，必有，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4答案：D解析：由题意
6、知中，故，故，（R为外接圆半径），故，故选：D.5答案：C解析：因为四棱柱为直四棱柱，故平面平面，而平面平面，平面平面，故，又，则，故，故，又，则，则，故，则，故选：C.6答案：C解析：由题意知，则，故，故，故选：C.7答案：D解析：由题意可知点M，N分别为椭圆的左右顶点，所以，设点A在第一象限，设点，所以，所以，.故选：D.8答案：A解析：因为，所以，当时，恒成立，则在定义域上单调递增，不存在最小值，故舍去；当时，若，则，又在上单调递增，则当时，所以无最小值，故舍去；所以，又，易知在定义域上单调递增，且，所以存在唯一零点，即，且，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值
7、，即，又，所以，令，所以，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值，即最小值，所以，所以.故选：A.9答案：AC解析：对于A，由平均数的性质知，的平均数为，故A正确；对于B，的第25百分位数比原始数据的第25百分位数大2，故B错误；对于C，的极差为：，故C正确；对于D，故D错误.故选：AC.10答案：AC解析：对于A，故，当，时，为偶函数，此时函数的图象关于y轴对称，A错误；对于B，则，由于在上恰有4个零点，故，即，而，故，B正确；对于C，由于，则的图象关于点对称，即，则，即，又，故时，的最小值为，C正确；对于D，时，由于，故，而在上的值域为，故，D错误，故选：AC.
8、11答案：ABD解析：选项A：双曲线的一条渐近线方程为与相互垂直，故A正确；选项BC：因为，所以，所以，又，所以，所以，直线l：，即，故C错误，设，则，化简得：，所以，则，故B正确；选项D：，直线，联立，化简得：，解得，所以，所以直线，因为的内切圆圆心在直线l：上，若又在直线上，则内切圆圆心为，圆心到直线的距离为：，圆心到直线的距离为：，即，所以点也在的角平分线上，即点为的内切圆圆心，圆心在直线上，故D正确；故选：ABD.12答案：16解析：以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为，所以，所以，所以.故答案为：16.13答案：3解析：当时，当时，显然也满足，故，则，因为是，的等差中项，即
9、，即，则，解得：.故答案为：3.14答案：解析：对任意，由于，且函数的定义域为R，故点在曲线上，且曲线关于点中心对称，故点也在曲线上，从而，从而对任意有.从而对任意，由知，即.根据条件又有，即.现在对任意的整数n，我们有：，所以，从而有：.故有：.故答案为：.15答案：（1）（2）解析：（1）由已知可得，因为，所以，即，则，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）得，令，设前n项和为，则，所以，两式相减得，所以，令，则，设前n项和为，则，所以.16答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在平面内取点E，过E作直线，由于二面角为直二面角，即平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故；同理过E
10、作直线，由于二面角为直二面角，即平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故；由于，不平行，故a，b不重合，平面，故平面；（2）由题意可得，可以A为坐标原点，以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，二面角的正弦值为，故其余弦值的绝对值为，即，即，解得，故.17答案：（1）（2）解析：（1）若第一天比赛的总场数为4，且甲获胜，故前3场甲赢了2场，第4场甲获胜，则概率为，若第一天比赛的总场数为4，且乙获胜，故前3场乙赢了2场，第4场乙获胜，则概率为，故第一天比赛的总场数为4的概率为；（2）设决出最终冠军时比赛的总场数
11、为Y，其中Y最小为6，即决赛第一天和第二天均比赛3场结束，且两场均为甲胜或乙胜，故，当时，即决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了4场，另一天比赛了3场，其中比赛了4场的概率为，比赛了3场的概率为，结合可能第一天比赛了4场，可能第二天比赛了4场，且可能甲胜，可能乙胜，则，当时，分为三种情况，第一种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且两天均比赛了4场，此时概率为，第二种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了5场，另一天比赛了3场，此时概率为，第三种，决赛第一天和第二天，甲乙分别胜一场，且两天均比赛了3场，决赛第三天比赛了2场，甲胜或乙胜，此时概率为则，故.18答案：（1）（2
12、）解析：（1）由题意可知，因为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，联立，可得，即，解得，当时，则，故.（2）设直线的方程为，并设，联立，消x可得，则，恒成立，设过点的切线方程为：，联立，得，因为，则有，因为在抛物线上，所以，代入求解可得，所以的直线方程为：，设，联立，消去x可得，因为在抛物线上，所以，代入可得，则有，所以，即，点Q到直线的距离为，则，当且仅当，时，即时，等号成立，所以当时，三角形面积最小，因为，所以或，此时.19答案：（1）答案见解析（2）证明见解析解析：（1）由题意知的定义域为，令，则，令，令，则，当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，而，当或时，直线与函数的图象无交点，即无零点；当或时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点；当时，直线与函数的图象有2个交点，即有2个零点；（2）由题意知，由于，是函数的两个不同的零点，即，是的两个不同的正实数根，故，则，要证，即，由于在上有，故在上满足，所以在上单调递减，而，故，故即证，即证，而，令，则，设，则时，故在上单调递增，故，即成立，故原不等式得证.
