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1、（新高考）2020高考数学二轮复习大题考法专训（五）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题大题考法专训（五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题A级中档题保分练1(2019武汉模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8,0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OPQ面积的最大值解析：(1)设T(x，y)(x4)，则直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2.于是由k1k2，得，整理得1(x4)，故椭圆C的方程为1.(2)由题意设直线PQ的方程为xmy8，由得(3m24
2、)y248my1440，(48m)24144(3m24)1248(m24)0，即m24，yPyQ，yPyQ.所以|PQ|，又点O到直线PQ的距离d.所以SOPQ|PQ|d4.故OPQ面积的最大值为4.2.如图所示，A，B，C，D是抛物线E：x22py(p0)上的四点，A，C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l：xy10是抛物线在点C处的切线，BDl.(1)求抛物线E的方程；(2)求证：AC平分BAD.解：(1)联立消去y得x22px2p0.l与抛物线相切，4p28p0，p2，抛物线E的方程为x24y.(2)证明：设点B(xB，yB)，D(xD，yD)，由(1)可得C(2,1)，A(
3、2,1)直线lBD，设直线BD的方程为yxt.由得x24x4t0，xBxD4.又kADkAB0，AC平分BAD.3已知A，B分别为曲线C：y21(y0，a0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，M为l上位于x轴上方的一点，连接AM交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为的三等分点，试求出点M的坐标；(2)若a1，SMAB2，当TAB的最大面积为时，求椭圆的离心率的取值范围解：(1)当曲线C为半圆时，得a1.由点T为的三等分点，得BOT60或120.当BOT60时，MAB30，又|AB|2，故MAB中，有|MB|AB|tan 30，所以M.当BOT120时，同理可求得点M坐标为
4、(1,2)(2)设直线AM的方程为yk(xa)，则k0，|MB|2ka，所以SMAB2a2ka2，所以k，代入直线方程得y(xa)，联立解得yT，所以STAB2a，解得1a22，所以椭圆的离心率e，即椭圆的离心率的取值范围为.B级拔高题满分练1(2019武汉调研)已知椭圆：1(ab0)经过点M(2,1)，且右焦点F(，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆于A，B两点，记t ，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1t2的值解：(1)由椭圆1的右焦点为(，0)，知a2b23，即b2a23，则1.又椭圆过点M(2,1)，1，又a23，a26.椭圆的标准方程
5、为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260，点N(1,0)在椭圆内部，0，则t(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5，将代入得，t(1k2)(2k2k)k22k5，t，(152t)k22k1t0，kR，则1224(152t)(1t)0，(2t15)(t1)10，即2t213t160，由题意知t1，t2是2t213t160的两根，t1t2.2(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)
6、，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x .设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，其方程为y(xu)由消去y，得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)设G(xG，yG)，则u和xG是
7、方程(*)的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.3已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过点F垂直于y轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为16.(1)求抛物线C的方程；(2)设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PMPN，求证：若P为定点，则直线MN过定点Q；并求当P点移动时，|FQ|的
8、最小值解：(1)依题意得A，B，由x22py(p0)，得y，则y，抛物线C在点A处的切线斜率为1，在点B处的切线斜率为1，抛物线C在点A处的切线方程为yxp，即yx，在点B处的切线方程为yxp，即yx.可得两切线的交点坐标为，S2ppp216，解得p4.抛物线C的方程为x28y.(2)法一：设P，M，N，则kPM，同理可得kPN，kPMkPN1，化简得，x1x2x0(x1x2)x640.(*)直线MN的斜率一定存在，设MN：ykxb.由得x28kx8b0，x1x28k，x1x28b.代入(*)，得8b8kx0x640，则bx0k8.直线MN的方程可化为ykxkx08.直线MN过定点Q.点Q的轨迹方程为y8，|FQ|的最小值为6.法二：设P，M，N，则kNM，kPM，kPN，又PMPN，kPMkPN1，化简得x1x2x0(x1x2)x64.直线MN的方程为y(xx1)，化简得yx.把代入得y(xx0)8，直线MN过定点Q.点Q的轨迹方程为y8，|FQ|的最小值为6.- 1 -
