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1、.24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是O的弦，CD是O的直径，CDAB，垂足为E，那么可推出的相等关系是_.图24-1-2-1图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，那么这条弦弦长为_.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于_.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是_.2.如图24-1-2-2，在O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有_，相等的劣弧
2、有_.3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，那么O的半径R=_ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交O于B、C,那么BC等于( )A.3 B.3 C. D.图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，那么OD的长是( )A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm3.O
3、半径为10，弦AB=12，CD=16，且ABCD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，假设最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60，那么秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为_米.图24-1-2-86.如图2
4、4-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)假设在(2)题中的R满足nRm(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值围.4开放题AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、
5、课前预习 (5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是O的弦，CD是O的直径，CDAB，垂足为E，那么可推出的相等关系是_.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，那么这条弦弦长为_.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：4 cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：1圆的对称轴是直线，而不是线段；2这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直
6、平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于_.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是_.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有_，相等的劣弧有_.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，那么O的半径R=_ cm.思路解析：连结AO，得RtAOC，然后由勾股定理得出.答案：1
7、34.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性：垂直于弦的直径平分这条弦.由OMAB可得OM平分AB，即AM=AB.连结半径OA后可构造Rt，利用勾股定理求解.解：连结OA.OMAB，AM=AB.OA=10=5，OM=4，AM=3.AB=2AM=6(cm).三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交O于B、C,那么BC等于( )A.3 B.3 C. D.图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB、BO，由题意知：AB=A
8、O=OB，所以AOB为等边三角形.AO垂直平分BC,所以BC=2=3.答案：B2.如图24-1-2-6，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，那么OD的长是( )A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm思路解析：因为AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，连结OA，在RtODA中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3.O半径为10，弦AB=12，CD=16，且ABCD.求AB与CD之间的距离.思路分析：此题目属于“图形不明确型题目，应分类求解.解：(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图(1)所示.作OGAB，垂足
9、为G，延长GO交CD于H，连结OA、OC.ABCD，GHAB，GHCD.OGAB，AB=12，AG=AB=6.同理,CH=CD=8.RtAOG中，OG=8.RtCOH中，OH=6.GH=OGOH=14.(2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，假设最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60，那么秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点
10、A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BCAD于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BCAD于点C.如图.在RtABC中，AB=3，CAB=60，AC=3=1.5m.CD=3+0.5-1.5=2m.BE=CD=2m.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为11
11、0米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为_米.图24-1-2-8思路解析：此题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.连结OC.设圆拱的半径为R米，那么OF=R22米.OECD，CF=CD=110=55米.根据勾股定理，得OC2=CF2OF2，即R2=552R222.解这个方程，得R=79.75米.所以这个圆拱所在圆的直径是79.752=159.5米.答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，弧上三点A、B、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC为等腰三角形
12、，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)假设在(2)题中的R满足nRm(m、n为正整数)，试估算m和n的值.思路分析：1作AB、AC的中垂线即得圆片圆心O；2BC和AB的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R；3根据半径的值确定m、n的值.1作法：作AB、AC的垂直平分线，标出圆心O.2解:连结AO交BC于E，再连结BO.AB=AC，AB=AC.AEBC.BE=BC=5.在RtABE中，AE=.在RtOBE中，R2=52R-2，解得R=cm.3解:5=6，5R6.nRm，m=6，n=5.7.O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得围，此题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OMAB，求得OM即可.解：如图，作OMAB于M，连结OB，那么BM=AB=8=4.在RtOMB中，OM=3.当P与M重合时，OP为最短；当P与A或B重合时，OP为最长.所以OP的取值围是3OP5.-
