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1、 排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有 A、60种 B、48种 C、36种 D、24种2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种C、4820种 D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人
2、并排站成一排，如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法有 A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例5.1有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种
3、B、2025种 C、2520种 D、5040种212名同学分别到三个不同的路口进展流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有 A、种 B、种 C、种 D、种6.全员分配问题分组法:例6.14名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？25本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加
4、中国西部经济开发建立，其中甲同学不到，乙不到，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例91由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A、210种 B、300种 C、464种 D、600种2从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法不计顺序共有多少种？3从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种？10.穿插问题集合法：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素个数公式例10.从6名
5、运发动中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.现1名教师和4名获奖同学排成一排照相留念，假设教师不站两端那么有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12.16个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种28个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少“
6、至多问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，那么不同的取法共有 A、140种 B、80种 C、70种 D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.1四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？29名乒乓球运发动，其中男5名，女4名，现在要进展混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15.局部合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一局部合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有
7、A、70种 B、64种 C、58种 D、52种2四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A、150种 B、147种 C、144种 D、141种16.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序例如按顺时钟不同的排法才算不同的排列，而顺序一样即旋转一下就可以重合的排法认为是一样的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，以下个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为一样，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17.可重复的排列求
8、幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？18.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的与盒子一样，问有多少种不同的方法？2
9、0.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.130030能被多少个不同偶数整除？2正方体8个顶点可连成多少队异面直线？21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.1圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆的交点有多少个？2某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题贺卡问题，信封问题记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用A、B、C表示写着n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n
10、)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类： 1b装入A里，这时每种错装的其余局部都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。 2b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把除a之外的 份信纸b、c装入除B以外的n1个信封A、C，显然这时装错的方法有f(n-1)种。总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D的n2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:得到一个递推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分别带入n=2、3、4等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式：排列组合问题经典题型与
11、通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有 A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，那么此题相当于4人的全排列，种，答案：.2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位
12、有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法有 A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数一样，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有 A、6种 B、9种 C、11种
13、D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例5.1有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下的8人中选1人承当乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承当丙项任务，不同的选法共有种，选.212名同学分别到三个不同的路口进展流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有 A、种 B、种 C、种 D、种答案：.6.全员分配问题分组法:例6.14名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.25本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，
