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1、 热门题型题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理题型2 排列数与组合数的计算题型3 与排列相关的常见问题题型4 与组合相关的常见问题题型5 排列组合的综合应用 题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1 (1)设x，yN*，直角坐标平面中的点为P(x，y)若xy6，这样的P点有_个若1x4，1y5，这样的P点又有_个(2)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？(3)已知a1，2，3，b0，1，3，4，r1，2，则方程(xa)2(yb)2r2所表示的不同的圆的个数有_（2）方法一：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的
2、两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个)方法二：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：1234567836(个)（3）a1，2，3，a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，共有34224个不同的圆【解题技巧】利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定如(1)题中完成这件事分5类即可；(3)题中完成这件事，
3、需分三步，这三步完成后这件事才算告终变式1.（20xx全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24 B.18 C. 12 D.9解析 从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法. 选B 题型2 排列数与组合数的计算例2.（20xx江苏23）（1）求的值；（2）设，求证：所以左边右边 证法二（数学归纳法）：对任意的，当时，左边，右边，等式成立.假设时命题成立，即，当时，左边.因此，因此左边右边，因此时命题也成立综合可得命题对任意均成立评注 本题从性质上考查组合数
4、性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型组合数的运算性质不仅有，而且还有此题中出现的，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心 题型3 与排列相关的常见问题例3 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排
5、在右端解析： (1)从7个人中选5个人来排，是排列有A75765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73A445 040(种)事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件(3)(优先法) (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44A44576种(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44A531 440种
6、(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法故共有A22A53A33720种(7)(消序法)2 520.(8)(间接法)A772A66A553 720. 位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类【解题技巧】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中消
7、序法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法 题型4 与组合相关的常见问题例4 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任第二步：选2男1女补足5人有C62C41种；第三步：为这3人安排工作有A33种由分步乘法计数原理共有C71C51C62C41A3312 600种选法【解题技巧】组合问题常有以下两类题型（1）“含有”
8、或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 题型5 排列组合的综合应用例5 （20xx天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这
9、五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有个(或个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有.故由分类计数原理得这样的四位数共有个.【高考真题链接】1.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有种选法，2女2男有种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有种选法所以共有
10、 种选法2.（20xx浙江理14）将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有_种（用数字作答）解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可。当C在左边第1个位置时,有；当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有；当C在左边第3个位置时,有，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种.3.（20xx山东理10）用，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A. B. C. 261 D. 4.（20xx 重庆理 9）某次联欢会要安排个歌舞类节目、个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，
11、则同类节目不相邻的排法种数是（ ）.A. B. C. D. 解析：选B.5.（20xx 四川理 6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）.A种 B种 C种 D种解析：选B.6.（20xx 辽宁理 6）把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）.A B C D解析：选D.7.（20xx四川理6）6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比大的偶数共有（ ）.A. 个 B. 120个 C. 个 D. 个解析 由题意可知，万位上只能排.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有（个）.故选B.8.（20xx
12、四川理4）用数字，组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）.A. B. C. D.解析 由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为、，其他位置共有，所以其中奇数的个数为.故选D. 9.（20xx广东理12）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）10.（20xx广东理8）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）A至多等于 B至多等于 C等于 D大于解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数可以等于4，而且至多等于4假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为，则构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点，则点和点，也要构成一个正四面体，此时点要么跟点重合，要么点和点关于平面对称，但此时的长又不等于，故矛盾故选B11.（20xx全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.A种 B种 C种 D种解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作由此把4项工作分成3份再全排得.故选D.
