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1、第四章保距变换和仿射变换本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换，从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。本章教学重点：1保距变换和仿射变换的定义和性质；2仿射变换的基本定理；3保距变换和仿射变换的变换公式；4图形的仿射分类与仿射性质。本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理；仿射变换的变换公式的求法。本章教学内容：1平面的仿射变换与保距变换对应与可逆变换集合X到集合Y的一个映射f:X-Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则，即VxeX,都决定Y中的一个元素f(x)，称为点x在f下的像。对X的一个子集A,记f(A)二f(a)|aA,它是Y的一
2、个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集B,记f-1(B)=xeX|f(x)eB,称为B在F下的完全原像，它是X的子集。如果f是X到Y的映射，g上Y到Z的映射，贝I它们的复合上X到Z的映射，记作gf：X-Z，规定为gf(x)=g(f(x),Vxex.对AuX，gf(A)=g(f(A);对CuZ,(gcf)-i(C)=f-1(g-1(C).映射的复合无交换律，但有结合律。映射f:X-X称为X上的一个变换，id:X-X,Vxex,idX=x，称为X的恒同XX变换。对映射f：X-Y，如果有映射g:Y-X，使得gf二idX：X-X，f=g=idY：Y-Y，则说f是可逆映射，称g是f的逆映射。如果在映射
3、f:X-Y下X的不同点的像一定不同，则称f是单射。如果f(X)二Y，则称f是满射。如果映射f：X-Y既是单射，又是是满射，则称f为对应。此时Vf-“f二id,fX,f-1=id,于是f是可逆映射，并且f的逆映射是f-1。Y一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。12平面上的变换群平移取定平行于平面的一个向量u,规定兀的变换PU：兀-兀为：VAG兀，令PuA是使得AP(A)的点。称P为兀上的一个平移，称向量u是P的平移量。UuU旋转取定兀上一点O,取定角e。规定兀的变换r：兀f兀为：vAE兀，令rA是A饶O转角0所得的点。称变换r是兀上的一个旋转，称O是其旋转中心，0为转角，r是可逆变换，
4、r-i也是以O为中心的旋转，转角为-0。0=180时，称r为关于中心O点的中心对称，此时r-i=r。反射取定上的一条直线a,做兀的变换f：兀f兀为：VAE兀，fA是A关于afaaa为兀上的一个反射，称a是它的反射轴.也f是可逆变换，f-=f.aaa正压缩取定兀上一条直线和一个正数k，做兀的变换：g:兀f兀为：VAe兀，令g(A是以下条件决定的点：Pg(A)与a垂直;2g(A到a的距离d(g(A，a)二kd(A,a)；3g(A与A在的同一侧，称变换g为兀上的一个正压缩，称a为压缩轴。称k为压缩系数，g也是可逆变换。并且g-i也是以a为压缩轴的压缩变换，压缩系数为k-i.一个集合G，如果它的元素都
5、是兀上的可逆变换，并且满足条件：1G中任何元素的逆也在G中；2G中任何两个元素的复合也在G中，则称G是兀上的一个变换群。1.3保距变换平面兀上的一个变换f如果满足：对兀上的任意两点A,B，总有d(f(A),f(B)=d(A,B),则称f是兀上的一个保距变换。保距变换是可逆变换.证明略保距变换f的逆f-i也是保距变换，于是平面兀上的全体保距变换构成一个交换群，称为保距变换群。1.4仿射变换平面空间的一个可逆变换，如果把共线点组变为共线点组，则称为平面空间的一个仿射变换。我们把平面间保持点组共线性的可逆映射称仿射映射。位似变换取定平面兀上一点O和一个不为0的实数k，规定兀上的变换f：兀f兀为：VP
6、e兀令f(p)是由等式Of(P)=kO(P)决定的点。称f是一个位似变换，称O为它的位似中心，k为位似系数。相似变换平面的一个变换f：兀f兀称为相似变换，如果存在正数k，使得对兀上任意两点A,B都有d(f(A),f(B)=kd(A,B),称k为f的相似比。错切变换取定平面兀上的一条直线a，并取定a的一个单位法向量n以及与a平行的一个向量u，规定变换f：兀f兀为：Vpe兀令f(P)是满足等式Pf(P)=(可.n)u的点，其中M0是a上一点，称此变换为以a为错切轴的一个错切变换。在仿射变换下，不共线三点的像也不共线。推论仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性.2仿射变换基本定理仿射变换决定的向
7、量变换定义4.3设f是平面兀上的仿射变换，则对于任何平行于兀的向量a，规定f(a)=f(A)f(B)，这里A，B是兀上的点，使得AB=a这样，就得到全体平行于兀的向量集合上的一个变换，称它为f决定的向量变换，仍记作f.从定义容易看出：a=0f(a)=0.仿射变换决定的向量变换具有线性性质，即V向量a,b,f(a+b)=f(a)+f(b),f(a-b)=f(a)-f(b).V向量a,V兀WR,兀fra)=兀f(a).引理1如果对aMO和实数兀，f(兀a)=tf(a)则对任何非零向量b，都有f(兀b)=tf(b)2对任何aMO，如果兀0,则t0.推论仿射变换保持共线三点的简单比.仿射变换基本定理定
8、理42仿射变换基本定理)设兀是一张平面.(1) 如果f：兀f兀是仿射变换，1=O;e,e2是兀上的一个仿射坐标系，则11=.f(O);f(e1),f(e2)也是兀的仿射坐标系，并且Vpe兀,P在I中的坐标和fP在I中的坐标相同；任取兀上两个仿射坐标系I=O;e,e2和I=O;e；e2规定f：兀f兀如下，VPe兀，设P在I中的坐标是x,y，令fP是在I中的坐标为x,y的点，则f是仿射变换.2.3关于保距变换如果平面兀上两个三角形AABC和aEFG全等，则把AABC变为厶EFG每个顶点变为对应顶点的仿射变换是保距变换.推论任何保距变换都可分解为平移旋转及反射的复合.二次曲线在仿射变换下的像平面兀上
9、两条二次曲线I与【不是空集是同类二次曲线的充分必要条件是，存在仿射变换f,使得f1=1仿射变换的变积系数在同一仿射变换f:兀f兀下，兀上不同的图形可计面积的面积的变化率相同,即存在由变换f决定的常数k，使得任一图形S的像f(S)的面积是S面积的k倍.这个常数k称为f的变积系数.引理1如果仿射变换h：兀f兀把某一个圆周S变为等半径的圆周，则f是保距变换.引理2每个仿射变换都可分解为一个保距变换和两个正压缩的乘积.3用坐标法研究仿射变换仿射变换的变换公式设f：兀f兀是一个仿射变换.取定兀上的一个仿射坐标系I=O;e1,e2，记Il=f(O);f(e1),f(e2)设P在I中的坐标为x,y贝9由基本
10、定理知道，f(P)在I中的坐标也是(x,y)I的过渡矩阵为aa、A=ii12,(aa丿2122f(O)在I中的坐标为b,b2，则由第三章中点的坐标变换公式，f(P)在I中的坐标x1,y1为xi二ax+ay+b(4.3)11121y1二ax+a+b21222称此公式为仿射变换f在坐标系I中的点坐标的变换公式，称矩阵a为f在坐标系I中的变换矩阵.类似可得仿射变换在坐标系I中的向量坐标的变换公式：,(4.4)X1=ax+ay1112y1二ax+ay2122也可用矩阵乘积形式给出_x(aaxy1=11.a2112a丿22_y_其中x,y是一个向量幺在I中的坐标，Xl,y1是f的坐标.设一条曲线r在i中
11、的方程为fa=o,求其像fr的方程方法为：从公式4.3反解出x,y用X1,y1表示的函数式，代入Fx,y=0,就得到fr的方程.已知在仿射坐标系I中，仿射变换f的点变换公式为Xl=4x3y5Vy1二3x2y+2直线a的方程为3x+y-1=0，求fa的方程.解x=2X1+3y116Vy=3X1+4y123代入a的方程：3(-2x1+3y1-16)+(-3x1+4y1-23)-1=0整理后得9X1-13y1+72=0，于是fa的方程为9x-13y+72=0.方法2待定系数法设f(a)的方程为Ax+By+C=O,用变换公式4.5代人得到A的方程A(4x-3y-5)+B(3x-2y+2)+C=0.它与
12、3x+y-1=0都是a的方程，于是4A+3B3A2B5A+2B+C3=11从上式左边等式解出13A+9B=0.即A:B=9:13,再由右边的等式求出A:C=1:8.取A=9则B=-13,C=72,得fA的方程：9x-13y+72=03.1 变换矩阵的性质引理设1和1是平面兀上的两个仿射坐标系，他们分别北仿射变换f变为11和12，1212则I到阵.1推论仿射变换f把坐标系I变为11，则f在11中的变换矩阵就是f在I中的变换矩阵.命题46如果仿射变换f,g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A和B，则它们的乘积gf在I中的变换矩阵为BA.推论如果仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,则它的逆变换f
13、-1在I中的变换矩阵为A-1.设仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,I到仿射坐标11的过渡矩阵为H,则f在11中的变换矩阵为H-1AH.推论一个仿射变换f在不同坐标系中的变换矩阵的行列式相等.仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式所绝对值.3.2 仿射变换的不动点和特征向量设f：兀-兀是仿射变换.VPG兀，如果P在f下不动，即f(P)=P,就称P为f的一个不动点如果非零向量u与f(u)平行，则称u为f的一个特征向量；此时有唯一实数九，使得f(u)=九U,称九为U的特征值.不动点和特征向量都是应用中常见的概念.3.3 保距变换的变换公式命题4.9平面上第一类保距变换或是旋转，或是平移.
14、命题4.10第二类保距变换或是反射，或是滑反射4图形的仿射分类与仿射性质4.1平面上的几何图形的仿射分类和度量分类定义4.4设r和ri是平面兀上的两个几何图形，如果存在一个仿射变换f：兀-兀，使得f(r)=r1,则称r和ri是仿射等价的；如果存在一个保距变换f：兀一兀，使得f(r)=r1,则称r和ri是度量等价的.仿射等价和度量等价都是平面上的几何图形的集合中的一个“等价关系”，即它满足以下三个性质(1) 自反性.即任何图形和自己仿射等价.(2) 对称性.即如果图形r和ri仿射等价，则ri和r也仿射等价.(3) 传递性即如果r和ri仿射等价，ri和r2仿射等价，则r和r2也仿射等价.4.2仿射概念与仿射性质几何学中有些概念是在仿射变换下不会改变的，我们把这种概念称为仿射概念.类似地，把在保距变换下不会改变的概念称为度量概念.几何图形的某种性质如果是用仿射概念刻画的，从而在仿射变换中保持不变。就称为仿射性质.某种性质如果是用度量概念刻画的，从而在保距变换中保持不变，就称为度量性质.例4.4试证明：椭圆上存在内接三角形，使得椭圆在其每个顶点处的切线都平行它的对边；并且，当取定椭圆上的一点时，以它为顶点的这样的三角形只有一个。证明由于所说的性质试仿射性质，我们只须对圆进行证明。在圆上，这样的三角形就是正三角形，其存在性和唯一性都是显然的。
