《1987年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1987年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1987 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一（本题满分 24 分）本题共有 8 个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内 选对的得 3 分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得 0 分（1）设 S，T 是两个非空集合， 且 S T ，T S ，令 X=S T，那么 SX等于（ D ）（A）X（B）T（C）（D）S（ 2）设椭圆方程为线方程为x2y21 (a b 0) ，令 ca 2b2 ，那么它的准a2b 2（ C ）（A） ya2（ ） yb 2（ ） xa2（
2、） xb2cBcCcDc（3）设 a,b 是满足 ab|a-b|（B）|a+b|a-b|（C）|a-b|a|-|b|（D）|a-b|a|+|b|（ 4）已知 E，F，G，H 为空间中的四个点，设命题甲：点 E，F，G，H不共面，命题乙：直线 EF和 GH不相交那么（ A ）（ A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（ B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（ C）甲是乙的充要条件（ D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件（5）在区间 (,0) 上为增函数的是（ B ）（A）ylog(x)（ ） yx1Bx21（C） y( x 1) 2（ ） y 1 x2D（6）要得到函数 ysin( 2x) 的
3、图象，只需将函数 ysin 2 x 的图象（图3略）（ D ）（A）向左平行移动3（B）向右平行移动3（C）向左平行移动6（D）向右平行移动6（7）极坐标方程sin2cos所表示的曲线是（ B ）（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线（8）函数 y arccos(cos x)( x, ) 的图象是（ A ）22（ A ）（B）Y（C） Y（D ）Y21Y12O-O-O-O222222-1二（本题满分28 分）本题共 7 小题，每一个小题满分4分只要求写出结果（1）求函数ytg 2x 的周期3 答32（2）已知方程x 2y 21表示双曲线，求 的范围21 答 -1或-2. （注：写出一半给
4、2 分）（ 3）若（ 1+x) n 的展开式中， x3 的系数等于 x 的系数的 7 倍，求 n. 答8 （注：若给出 8 同时给出 -5 得 2 分）（ 4）求极限 答2lim1232n2222nn1n 1 n1n 1（5）在抛物线 y4x 2 上求一点，使该点到直线 y4x5 的距离为最短1答 (,1)（ 6）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且数字 1 与 2 不相邻的五位数 求这种五位数的个数 答72（ 7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为 30cm和 12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高答3三（本题满分 10 分）求 sin 10 sin 30 sin 50 si
5、n 70 的值解：原式 = 12 sin10 cos10 cos 20 cos 40sin 80122 cos1016 cos1016（注：本题有多种解答）四（本题满分 12 分）如图，三棱锥 P-ABC中，已知 PABC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥 P-ABC的体积 V=1 L2h.6证：连结 AD和 PDBCPA，BCED，PPA与 ED相交， BC平面 PADEDPA，ES =PAED= LhCAABC 1122DBVB-PAD= 1 ( 1 Lh) BD=1 LhBD326同理， VC-PAD= 1 LhCD6三棱锥 P-ABC的体积V=1LhBD+1LhCD
6、=1Lh（BD+CD）= 1LhBC=1 L2h.66666若 E，D不是分别在线段 AP，BC上，结论仍成立（此话不说，也不扣分）五（本题满分 12 分）设对所有实数2log 24(a 1)2alog 2(a1) 2x，不等式 xa2x log 2 a 14a20恒成立，求 a 的取值范围解：由题意得：a0,(1)a1log 24(a1)0,(2)a(a 1) 22a)24 log 24(a 1)0(3)( 2log 2log 24a 2a1a令 z log 22a, 则（ 3）式变为 z 2(log 2 8 z)( 2z) 0,a1化简为 z(6z)0, 解得 z 6或 z0（4）（2）式
7、变为 log 2 8 z0, 即 z3,（5）综合（ 4），（5）得 z0,即 log 22a0,a1由此， 2a1 （6）解（ 1），（6）得 a 取值范围： 0 a 1.a1六（本题满分 12 分，共 2 个小题）设复数 z1和z 2 满足关系式 z1z 2Az1A z20, 其中 A为不等于 0 的复数证明：（1） | z1A | z 2A | | A |2 ; （2） z1Az1A .z 2Az2A证：（1） | z1_ _A| z 2A | z1A | | z 2A | (z1A ) | (z2A ) | z1z 2Az1A z 2AA | |AA| |A|2| |A|2（2） A0
8、,由此得 z1A0, z 2A0,z1A(z1A)( z2A)z1 z2Az2A z1AA| A|2z2A(z2A)(z2A)| z2A |2| z2 A |2| z1A | z2A | | z1A |z1A.| z2A |2| z2A |z2A七（本题满分 12 分，共 3 个小题）设数列 a1 , a2 , an , 的前 n 项的和 Sn 与 an 的关系是1Snban 1(1b)n , 其中 b 是与 n 无关的常数，且 b-1（ 1）求 an和an 1 的关系式 ;（ 2）写出用 n 和 b 表示 an 的表达式 ;（3）当 0 b1时，求极限 lim Sn .n解 : (1)anSnSn1b( anan 1 )11(1b)n(1 b) n 1b(anan 1 )b(n2)(1b)n由此解得 anban 1(1b( n2)(1)1bb) n 1( 2) a1S1ba111 , a1b. (2)1b(1b)2anbban 2bb1 b 1 b(1 b) n(1 b) n 1b2bb2an21(1b) n 1bb2bb
