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1、重庆市名校联盟2023-2024学年度（高2026届）第二期期中联考数学试题（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。2请将准考证条形码粘贴在右侧的考生条形码粘贴处的方框内。3选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。4请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。5保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。第卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共
2、8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（ ）ABCD2已知向量，若向量与向量平行，则x的值为（ ）AB0CD3用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（ ）A36BCD4若，且，则向量，的夹角为（ ）A30B60C120D1505在ABC中，则（ ）ABCD6中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为（ ）ABCD7如图，在ABC中，若，则（ ）AB3C2D8已知ABC中，
3、点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则的最小值为（ ）A27B0CD二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9下列说法不正确的是（ ）A若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点B若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面C有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱D有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ）A，有两解B若，则ABC为等腰三角形C若ABC为锐角三角形，则D若，则ABC为钝角三角形11
4、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心（重心，内心，外心，垂心）有着神秘的关联它的具体内容是：已知M是ABC内一点，BMC，AMC，AMB的面积分别为，且以下命题正确的有（ ）A若，则M为ABC的重心B若M为ABC的内心，则C若，M为ABC的外心，则D若M为ABC的垂心，则第卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 13在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC的面积为 14在三棱锥A-BCD中，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 四、解答题
5、：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分13分）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥（1）求截去的三棱锥的体积；（2）求剩余的几何体的表面积16（本小题满分15分）已知向量，（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围17（本小题满分15分）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示，在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离B点50米的C点处建一凉亭，距离B点70米的D点处再建一凉亭，测得，（1）求的值；（2）测得，观光通道每米的造价为2000元
6、，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？18（本小题满分17分）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若（1）求角A的大小；（2）分别以ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围19（本小题满分17分）如图，在ABC中，ABC为钝角，过点B作AB的垂线，交AC于点D，E为BD延长线上一点，连接AE，CE，若（1）求边AC的长；（2）证明：；（3）设，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说
7、明理由重庆市名校联盟2023-2024学年度第二期第一次联合考试数学试题参考答案（高2026届）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。18CACBABBD8解析：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，设，其中，则，故，所以当时，有最小值故选：D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。9ACD10CD11ABD11解析：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，由，则，所以，所以A，M，D三点共线，且，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，所以M为ABC的重心，故A正确；对于B，由M为ABC的内心，则可设内切圆半径为r，则有
8、，所以即，故B正确；对于C，由M为ABC的外心，则可设ABC的外接圆半径为R，又，则有，所以，所以，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为ABC的垂心，则，又，则，设，则，所以，即，所以，所以，故D正确；故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12131414解析：由，ABC中，由余弦定理可得，所以，则，在ABD中，由余弦定理可得，所以，则，取AB中点O，则在RtABC和RtABD中，则三棱锥A-BCD外接球的球心为O，其半径为，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为，故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分。
9、15（1）正方体棱长为2；（2）由题意可知，剩余几何体表面积为16（1）因为向量，所以，设与之间的夹角为，所以因为，所以向量与的夹角为（2）易知当时，所以的取值范围是17（1）由，得，则，在BCD中，由正弦定理得，即，所以（2）在BCD中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）在ACD中，所以，又，解得，在ABC中，所以由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用18（1）由题意，由正弦定理可得，即，又，从而，所以，（2）如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，设P，Q分别为、上任意一点，即PQ的长小于等于ABC周长的一半，当PQ与HE重合时取等同理可证，三
10、个半圆上任意两点的距离最大值等于ABC周长的一半由正弦定理可得：，设周长为l，则因为ABC为锐角三角形，所以，所以从而平面区域D的“直径”的取值范围是（1）法一：由题意，CAB为锐角，ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，解得或因为ABC为钝角，取即边AC的长为4法二：由正弦定理可得，ACB与CAB皆为锐角，易知，所以由余弦定理可得，即，边AC的长为4（2）法一：由题意，根据勾股定理：，所以，从而在ADE和CDE中，由正弦定理得，可得因为，所以又，所以，即（注：直接由得到，此问给2分）法二：又所以，即（3）在ABE和CBE中，由正弦定理得，可得由（2）可知，所以，若，则故存在实数，使得法二：在ADE和CDE中，由余弦定理可求出，在ABE和CBE中，分别由余弦定理可求得，进而可得，故存在实数，使得学科网（北京）股份有限公司
