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1、2023-2024学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a= 2,b=1,A=45，B=()A. 30B. 30或150C. 60D. 60或1202.已知向量a=(1,1),b=(m,2)，若a/b，则ab=()A. 2B. 2C. 4D. 43.已知非零向量a，b，c，那么“a=b”是“ac=bc”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列结论正确的是()A. 若直线l不平行于平
2、面，且l，那么内存在一条直线与l平行B. 已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l垂直C. 如果两个平面相交，则它们有有限个公共点D. 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等5.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若 3bsinA=acosB，6S= 3ABAC,ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为2 5，则其体积为()A. 84 2B. 80 23C. 80 2D. 28 27.已知扇形AOB的半径为13，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA=(13,0
3、),OB=(12,5)，弧AB的中点为C，则OC=()A. (3 13,2 13)B. (52 26,12 26)C. (4 10,3)D. ( 153,4)8.如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是()A. 4 69B. 4 39C. 8 69D. 63二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的是()A. 空间三点可以确定一个平面B. ，为两个不同的平面，直线l，则“l/”是“/”必要不充分条件C. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面
4、平行D. 长方体是直平行六面体10.已知e1,e2是夹角为23的单位向量，且a=e1+2e2,b=e1e2，则下列选项正确的是()A. |a|= 3B. ab=12C. a与b的夹角为23D. e1在e2方向上的投影向量为12e211.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A. 直线A1G与平面AEF平行B. VEA1FG=112C. 过A1C的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形D. 过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围是 62, 212.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角
5、形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是ABC内一点，BMC，AMC，AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SAMA+SBMB+ScMC=0.以下命题正确的有()A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为ABC的重心B. 若M为ABC的内心，则BCMA+ACMB+ABMC=0C. 若BAC=45，ABC=60，M为ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1D. 若M为ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cosAMB= 66三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知球O的半径为2cm，则球O的表面积为_cm214.如图，甲乙两人做游戏
6、，甲在A处发现在北偏东45方向，相距6百米的B处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东75方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东(45+)方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要_分钟15.四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=35PD，若PF=PC且满足BF/平面ACE，则= _16.已知ABC中，BC=4,A=3，若ABC在平面内一点D满足3DB+3DC+DA=0，则DBDC的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)设a,b是不共线的两个非零向量(1)若OA=a+2b,OB=2ab,OC
7、=5a10b，求证：A，B，C三点共线；(2)若3a+kb与13a+2b平行，求实数k的值18.(本小题12分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4(1)求ABC的外接圆的半径；(2)若b+c=2，且BC边上的高h=12，求角A19.(本小题12分)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD为直角梯形，DC=2AB，GC=2FG，平面ABEF平面CDEF=EF(1)证明：AF/平面BDG；(2)证明：AB/EF20.(本小题12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asinC 3c=0(1)求角A的值；(2)若a=2 3且ab，求b
8、c2的取值范围21.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PAB是边长为1的正三角形，且PBC=PAD=2,E,F分别是棱PD，PC上的动点，H为AB中点(1)若E为PD中点，证明：AE/面PHC；(2)求AE+EF+BF的最小值22.(本小题12分)在锐角ABC中，记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosA=acosC+ccosA，点O为ABC的所在平面内一点，且满足(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0(1)若a= 3，求|AO|的值；(2)在(1)条件下，求|3OA+2OB+OC|的最小值；(3)若AO=xAB+yAC，求x+y的取值范围
9、答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理得，asinA=bsinB，即 2sin45=1sinB，解得sinB=12，又因为0B180，所以B=30或150，因为ba，所以B0，故tanB= 33，即B=6，6S= 3ABAC，则612bcsinA= 3bccosA，解得tanA= 33，故A=6，所以ABC的形状为等腰三角形故选：A根据已知条件，结合正弦定理，推出B=6，再结合三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，即可求解本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题6.【答案】D【解析】解：根据题意可得正四棱台的高为 (2 5)2(8 22 22)2= 2，正四棱台的为13(22+8
10、2+28) 2=28 2故选：D根据题意先求出正四棱台的高，再根据棱台的体积公式，即可求解本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题7.【答案】B【解析】解：根据题意，可得点C在AOB的平分线上，因为OA=(13,0),OB=(12,5)，所以OC=(OA+OB)=(25,5)，其中0由点C在弧AB上，可得|OC|= 6252+252=13，解得= 2610(舍负)所以OC=(25 2610,5 2610)=(52 26,12 26).故选：B根据题意设OC=(OA+OB)，由|OC|=13建立关于的方程，解出的值，即可得到OC的坐标本题主要考查平面向量的坐标运算、向量的模的公式等知识，考查了计算
11、能力、图形的理解能力，属于中档题8.【答案】C【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，因为底面圆的内接正三角形的边长为2，所以r=232sin3=2 33，高为h= 22(2 33)2=2 63，所以圆柱的体积是V=r2h=(2 33)22 63=8 69.故选：C设圆柱的底面圆半径为r，高为h，根据底面圆的内接正三角形的边长求出r和圆柱的高h，即可求出圆柱的体积本题考查了正四面体的结构特征与圆柱的体积计算问题，是基础题9.【答案】BD【解析】解：对于A，要求三点不共线才可以唯一确定一个平面，故A错误；对于B，如图，可知l/不一定有/，根据由面面平行的性质可知反之成立，则为必要不充分条件，
12、故B正确；对于C，显然对于两个相交平面，其中一个平面内有无数条直线与交线平行，由线面平行的判定定理知该平面内有无数条直线与另一个平面平行，但这两个平面不平行，故C错误；对于D，由直平行六面体的定义可知长方体是直平行六面体故选：BD由点线面的位置关系、面面平行的判定定理以及直平行六面体的定义即可逐一判断每个选项本题考查面面平行的判定及性质定理，考查线面位置关系，属于基础题10.【答案】ACD【解析】解：由题意，可得e1e1=11cos23=12，则|a|= (e1+2e2)2= e12+4e1e2+4e22= 12+4= 3，故A正确；ab=(e1+2e2)(e1e2)=e12+e1e22e22=1122=32，故B错误；|b|= e122e1e2+e22= 3，则cos=ab|a|b|=32 3
