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1、目 录第1讲 比较大小 1第2讲 速算与巧算4第3讲 比的意义和应用 第4讲 按比例分派10第5讲 分数应用题(一)3第讲 分数应用题（二）1第7讲 列方程解分数应用题17第8讲 百分数应用题19第讲 单位“1”的妙用 1第10讲 倒推法解题23第1讲 相应法解题25第12讲 利润和利息27第1讲巧算周长29第14讲 智求面积第讲鸡兔同笼35思维训练检测（一）3思维训练检测（二)9第讲 比较大小在平时数学学习，特别是数学竞赛中，我们常常遇到某些题目:(1）比较这几种分数的大小:、(2)试比较和，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信人们一定会很难解决这样的题目。本讲，我们重要来讲一讲有关
2、比较大小的某些知识和措施。例1： 已知A=B = C D=(ACD都不等于0)，将A、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了以便比较,我们一方面将这五个算式统一写成乘法形式,这样本来的算式就变成A=B=C=D。下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。一方面我们可以假设所有算式的运算成果等于1。那么，就是的倒数，即；同理，应是,C是,D是，E是。这样,我们很容易就能比较出这五个数的大小。由于，因此DECBA.随堂练习一: 如果ab=(a、b、c、d均不等于0)，a、c、四个数中,谁最大?谁最小?例：将下列分数从小到大排列起来： 、。分析与解 比较几种分数的大小,课本上简介的重要
3、措施是先通分,再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦,我们可以根据“同分子的分数,分母大的分数反而小”这一性质，把这几种分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。由于2、1、12、5、的最小公倍数是0,根据分数的基本性质,可以把它们分别化为：、。由1048 145 14013,可以得到:,即。措施点评 如果几种分数的公分母比较大时,采用先通分、再比较的措施比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数,再比较大小。随堂练习二: 把下列分数按从小到大的顺序排列起来。、例:已知=，B=。试比较与B的大小。分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，
4、还是“先化成同分子的分数，再比较”的措施，都不容易。但仔细观测,可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点,先比较这两个分数与1的差，再拟定这两个分数的大小,这种比较措施我们把它称为“间接比较法”。由于比A比1少,比1少,而,因此B。措施点评如果两分数的分子与分母的差相等时,我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差,再拟定这两个数的大小。随堂练习三:试比较下列两个分数的大小。和例4:比较和,那个分数大?分析与解 这道题中的两个分数与上面几种题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的措施,但显然不是最佳措施。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分
5、子的14倍多,因此我们可以线比较它们的倒数的大小,倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？的倒数是,的倒数是，由于,因此。措施点评 从本题可以看出,如果两个分数的分子与分母具有相似的倍数关系，并且余数相似，采用比较倒数的措施比较简便。随堂练习四： 试比较和的大小。例5:试比较下面两个分数的大小。和分析与解 观测这两个分数,你会发现用上面的几种措施无法解答。但分析其中的数据，你会发现,第二个分数的分子271207+1000，分母=1006+000,即第一种分数的分子与分母都加上同一种数：100,就正好等于第二个分数。措施点评当a 时， ,即一种分数的分子和分母都加上同一种数,得到的新分数
6、比原分数小，因此。同理，一种真分数的分子和分母都加上同一种数，得到的分数比原分数大。随堂练习五： 比较与的大小拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。、2、比较下面两个分数的大小。和3、比较和的大小。、比较与的大小。、比较与的大小。第讲 速算与巧算专项简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最后目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此,要学好数学，就必须做到计算精确而又迅速。本讲就简介某些速算与巧算的技巧。例1：计算下面各题。(1)9 (2)分析与解 同窗们都会计算带分数除法，但相信同窗们看了这两道题目后,都会感到计算太麻烦,如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把(1
7、）提成一种9的倍数与另一种较小得数，再运用除法的性质就可以使计算简便;把例（）中的被除数和除数运用商不变的性质，同步除后来，计算就很简便了。(1）9 (2） (63+）9 =（)(） = 9 + 9 =1(+) 7+ =1 = 措施点评:有些分数四则运算用一般的措施既麻烦又费时，并且有容易出错,这时可以通过款差题目中的数据特点,把一种数拆成几种数,在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算:（1）5 (）167例：计算：（1+)(1+）(1+)()分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据,可以发现构成这个算式的数并不多,我们可以把反复浮现的数用字母表达，这样可以简化题意,以
8、便简算。设=A 1+=B,本来的算式可以转化成：（1+）B-BA=B+A-B=因此本题的成果为:1+=措施点评:用字母是可以使复杂的算式变得简洁,有助于我们发现规律。随堂练习二:计算:(1+）()-（1+）()例3:计算 分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个且同分母的分数的和依次为1，2,3,5这是一种扥差数列，可以直接运用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项)项数2=数列的和。原式1+2+3+4+49+0=(150）502=275措施点评：在数列求和中,发现与研究数列规律是解决有关问题的前提,灵活选用合适的措施是基本方略,转化与分组是重
9、要措施和技巧。随堂练习三：计算:+例4:计算：（）（)（）(2）分析与解(1）被除数与除数中两个分数的分母分别相似,经实验发现：=15（)，=5().因此,原式=(）(）=1()5()=455=29（2)我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长,但每个数据分别是由和构成。因而我们可以先采用分解质因数,找出其中的规律，再进行简便计算。由于=1=1001=因此+=（1+1001+）同理+=（110001+)原式=随堂练习四：计算:(1)()（）(）例5:计算 分析与解 这道题的加数诸多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下:=1-,.=1-+=1- 措施点评：
10、这种把一种分数拆成两个分数的差或和的措施,叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个持续自然数的乘积，如果不是，措施就不同了,裂项法的重要计算措施可以用下面公式来概括。当时,=（） 随堂练习五： 计算 拓展训练1、计算（1+ ) (+)（） (）2、计算(） (） 、计算 4、计算 5、计算(1+) (1-）(1)（)（1+)（1-) 第3讲 比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中,如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例1：两只相似的杯子中装满盐水,一只杯子中盐与水的比是12，另一只杯子中盐与比是15。若把两杯
11、盐水混合在一起,这时盐与水的比是多少？分析与解 规定混合液中的盐与水的比是多少，只规定出混合液中盐与水分别是多少就行了,由于两只杯子相似，因此设每只杯子中的盐水为，则第一支杯子中的盐占，水占;第二只杯子中的盐占，水占。两只杯子中的盐水混合后，盐为+=，水为=。因此，混合液中的盐与水的比为：（+)(+）=13。答：混合后,盐与水 的比为13。措施点评：求两个量的比时，一方面要能对的分析与计算每个量所占的份数或分率,然后再进行解答。随堂练习一： 六年（1)班男、女人数的比是5,六年（2）班男、女人数的比是1，两班人数相等。求六年(1）班男男生与六年(）班男生的人数比。例2:如右图,原形中的阴影部分
12、面积占圆面积的,占正方形面积的,三角形中阴影部分的面积占三角形面积的,占正方形面积的。圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少?分析与解规定圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需懂得这三个图形的面积各是多少就行了，由于圆和三角形都与正方形的面积有关,我们就设正方形的面积为1，那么圆的面积就是:12=16；三角形的面积为： 2=。因此这三个图形的面积比就是:(12)1（12）=165措施点评在求几种量的比时，我们可以先假设其中一种量等于几，然后根据条件计算出其她量,再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图,两个长方形重叠部分的面积相称于大长方形面积的，相称于小长方形面积的。这两个长方形的面积比是多少？例：有大小两个长方形,大长方形的长比小长方形的长多，而小长方形的宽比大长方形的宽多。求这两个长方形的面积比。分析与解 大长方形的长比小长方形的长多,可以把小长方形的长看做4份，大长方形的长就是1+4=份；小长方形的宽比大长方形的宽多。可以理解成八大长方形的宽看做
