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1、谈谈函数方程思想优秀获奖科研论文 函数方程思想即函数与方程之间的转化思想，也就是将函数问题转化为方程的观点来解决，或者将方程问题转化为函数的思想来解决.这个思想方法既是全国各地高考命题的重点，又是热点，几乎每年高考数学试题中都会出现，因此，掌握好函数方程思想是十分必要的. 第一，常见如下三种类型的转化. （1）若a>f（x）（af（x）恒成立，则a>f（x）max（af（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则an）. 若a （2）设函数f（x）的定义域为D，若x1D，使a>f（x）（af（x）成立，则a>f（x）min（或af（x）min）（如果函数没
2、有最小值，其值域是（m，n）则a>m）. 若x1D，使a （3）若方程a=f（x）有解，则a的取值范围为函数f（x）的值域. 第二，根据以上三点，有下列变式结论. （1）若对x1，x2D，|f（x1）-f（x2）|a成立，则af（x）max-f（x）max. （2）若x1D1，x2D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即AB. （3）若x1D1，x2D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB. （4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2D，使得f
3、（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min. （5）若x1D1，x2D2，使得f（x1）g（x2）f（x）ming（x）min. 例1已知集合P=x|12x2|，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q. （1）若PQ，求实数a的取值范围； （2）若方程log2（ax2-2x+2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围； （3）若不等式log2（ax2-2x+2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围. 解：（1）由题意，不等式ax2-2x+2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x+2>0成立. 由ax2-2x+2&
4、gt;0，得a>-2（1x）2+21x. x12，2， 1x12，2. 函数y=-2（1x）2+21x-4，12. a>-4. （2）由题意，方程a=2x+2x2在区间12，2内有解，令x+1=t，则x=t-1，t32，3；则a=2x+2x2=2t+1t-2. 令y=t+1t，则y=1-1t2>0. y=t+1t在区间32，3上是增函数. 2t+1t-2 32，12，即a32，12. （3）由题意，a>2x+2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x+2x232，12，所以a>12. 例2设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x20，2，使g（x1）-g（x2）M成立，求满足条件的最大整数M. 解：由题意，Mg（x1）-g（x2）max=g（x）max-g（x）min即可. g（x）=3x2-2x=x（3x-2）， x（0，32）时，g（x）<0，g（x）递减；x（23，2）时，g（x）>0，g（x）递增. g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=maxg（0），g（2）=1. g（x）max-g（x）min=11227. 即M11227，所以满足条件的最大整数M为4.
