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1、Fisher线性判别式前面讲过的感知器准则、最小平方和准则属于用神经网络的方法解决分类问题。下面介绍一种新的判决函数分类方法。由于线性判别函数易于分析，关于这方面的研究工作特别多。历史上，这一工作是从R.A.Fisher的经典论文（1936年）开始的。我们知道，在用统计方法进行模式识别时，许多问题涉及到维数，在低维空间行得通的方法，在高维空间往往行不通。因此，降低维数就成为解决实际问题的关键。Fisher的方法，实际上涉及维数压缩。如果要把模式样本在高()维的特征向量空间里投影到一条直线上，实际上就是把特征空间压缩到一维，这在数学上容易办到。另外，即使样本在高维空间里聚集成容易分开的群类，把它
2、们投影到一条任意的直线上，也可能把不同的样本混杂在一起而变得无法区分。也就是说，直线的方向选择很重要。在一般情况下，总可以找到某个最好的方向，使样本投影到这个方向的直线上是最容易分得开的。如何找到最好的直线方向，如何实现向最好方向投影的变换，是Fisher法要解决的基本问题。这个投影变换就是我们寻求的解向量。1线性投影与Fisher准则函数在两类问题中，假定有个训练样本其中个样本来自类型，个样本来自类型，。两个类型的训练样本分别构成训练样本的子集和。令：， (4.5-1)是向量通过变换得到的标量，它是一维的。实际上，对于给定的，就是判决函数的值。由子集和的样本映射后的两个子集为和。因为我们关心
3、的是的方向，可以令，那么就是在方向上的投影。使和最容易区分开的方向正是区分超平面的法线方向。如下图：图中画出了直线的两种选择，图(a)中，和还无法分开，而图(b)的选择可以使和区分开来。所以图(b)的方向是一个好的选择。下面讨论怎样得到最佳方向的解析式。各类在维特征空间里的样本均值向量：， (4.5-2)通过变换映射到一维特征空间后，各类的平均值为：， (4.5-3)映射后，各类样本“类内离散度”定义为：， (4.5-4)显然，我们希望在映射之后，两类的平均值之间的距离越大越好，而各类的样本类内离散度越小越好。因此，定义Fisher准则函数： (4.5-5)使最大的解就是最佳解向量，也就是Fi
4、sher的线性判别式。2求解从的表达式可知，它并非的显函数，必须进一步变换。已知：，, 依次代入(4.5-1)和(4.5-2)，有：， (4.5-6)所以： (4.5-7)其中： (4.5-8)是原维特征空间里的样本类内离散度矩阵，表示两类均值向量之间的离散度大小，因此，越大越容易区分。将(4.5-6)和(4.5-2)代入(4.5-4)式中： (4.5-9)其中：， (4.5-10)因此： (4.5-11)显然： (4.5-12)称为原维特征空间里，样本“类内离散度”矩阵。是样本“类内总离散度”矩阵。为了便于分类，显然越小越好，也就是越小越好。将上述的所有推导结果代入表达式： 广义Raylei
5、gh商 (4.5-13)式中和皆可由样本集计算出。用lagrange乘子法求解的极大值点。令分母等于非零常数，也就是：。定义lagrange函数： (4.5-14)对求偏导数：令得到： (4.5-15)从上述推导(4.5-10)(4.5-12)可知，是维特征的样本协方差矩阵，它是对称的和半正定的。当样本数目时，是非奇异的，也就是可求逆。则： (4.5-16)问题转化为求一般矩阵的特征值和特征向量。令，则是的特征根，是的特征向量。 (4.5-17)式中：是一个标量。所以总是在方向上。将(4.5-17)代入到(4.5-15)，可以得到：其中，是一个比例因子，不影响的方向，可以删除，从而得到最后解：
6、 (4.5-18)就使取得最大值，可使样本由维空间向一维空间映射，其投影方向最好。是一个Fisher线性判断式。讨论： 如果，则样本线性不可分。 ，未必线性可分。 不可逆，未必不可分。3.Fisher算法步骤由Fisher线性判别式求解向量的步骤： 把来自两类的训练样本集分成和两个子集和。 由，计算。 由计算各类的类内离散度矩阵，。 计算类内总离散度矩阵。 计算的逆矩阵。 由求解。这一节所研究的问题针对确定性模式分类器的训练，实际上，Fisher的线性判别式对于随机模式也是适用的。Fisher算法注释:（1）Fisher方法可直接求解权向量；（2）对线性不可分的情况，Fisher方法无法确定分类，Fisher可以进一步推广到多类问题中去。1
