2.3圆周运动的案例分析（一）1. （轻杆模型）如图8所示，细杆的一端与小球相连，可绕过 0点的水平轴自由转动，细杆 长0.5 m,小球质量为3 kg,现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点 a的速度为Va= 4 m/s，通过轨道最高点 b的速度为Vb= 2 m/s，取g = 10 m/s2,则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是 （ ）图8A .在a处为拉力，方向竖直向下，大小为 126 NB. 在a处为压力，方向竖直向上，大小为 126 NC. 在b处为拉力，方向竖直向上，大小为 6 ND .在b处为压力，方向竖直向下，大小为 6 N 答案 AD解析小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力.在 a点设细杆对球的作用力为Fa,则有Fa — mg =2肾，所以Fa= mg +2 mvaR=(30 +23X 42N = 126 N，故小球对细杆的拉力为126 N，方向竖直向下，A正确，B错误.在b点设细杆对球的作用力向上， 大小为Fb,2 2 3 % 22则有mg— Fb= ,所以Fb= mg—晋^ = 30 N — -^5- N= 6 N,故小球对细杆为压力， 方 向竖直向下，大小为 6 N , C错误，D正确.2. （轻绳模型）如图9所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动.半径为R,小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道•则其通过最高点时A •小球对圆轨道的压力大小等于B .小球所需的向心力等于重力C.小球的线速度大小等于 RgD .小球的向心加速度大小等于 g答案 BCD解析 由题意可知，小球在竖直平面内的光滑圆轨道的内侧做圆周运动. 经过圆轨道最高点2 时，刚好不脱离圆轨道的临界条件是，只由重力提供做圆周运动的向心力，即 mg = mv =Rma 向，所以 v =•, gR, a 向=g, B、C、D 正确.3. 佼通工具的转弯问题）汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速 率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须 （ ）1 1A .减为原来的2 B .减为原来的4C.增为原来的2倍 D .增为原来的4倍答案 D解析 汽车在水平地面上转弯， 向心力由静摩擦力提供. 设汽车质量为 m,汽车与地面的最大静摩擦力为f，汽车2的转弯半径为R,则f= m^，故Rxv2,故速率增大到原来的 2倍时，转弯半径需增大到原R来的4倍，D正确.40分钟课时作业题组一 交通工具的转弯问题1.火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为 V,则下列说法中正确的是 （ ）A .当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B. 当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C. 当速度大于v时，轮缘挤压外轨D .当速度小于v时，轮缘挤压外轨答案 AC解析火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时， 向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提 供，A正确，B错误；当速度大于 v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，夕卜 轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨， C正确，D错误.2•如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙， 以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为 f甲和f 乙.以下说法正确的是（ ）A . f甲小于f乙 B . f甲等于f乙C. f甲大于f乙 D . f甲和f乙的大小均与汽车速率无关答案 A解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即2=m —，由于R甲＞ R乙，贝U f甲v f乙，A正确.R0,半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是（设转弯半径水平）（3•赛车在倾斜的轨道上转弯如图 2所示，弯道的倾角为A. ,grsin 0 B.'Jgrcos 0C. ,grtan 0 D. . grcot 0答案 C2解析 设赛车的质量为 m,赛车受力分析如图所示，可见： F合=mgtan 0,而F合=m^，故v= ,grtan 0题组二 竖直面内的圆周运动问题4. 如图3所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠 倒，若轨道半径为 R,人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的 重力，则过山车在最高点时的速度大小为 （ ）图3A. 0 B/.gR C/.2gR D. 3gR答案 C2解析 由题意知F+ mg = 2mg= mv，故速度大小 v = _ 2gR, C正确.R5. 半径为R的光滑半圆球固定在水平面上 （如图4 所示），顶部有一小物体 A,今给它一个水平初速度V0= . Rg,则物体将（ ）A图4A .沿球面下滑至M点B •沿球面下滑至某一点 N,便离开球面做斜下抛运动C.沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D .立即离开半圆球做平抛运动答案 D2解析 当vo= . gR时，所需向心力F向=mvR^ = mg,此时，物体与半球面顶部接触但无弹力 作用，物体只受重力作用，故做平抛运动.6•如图5所示，一个固定在竖直平面内的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径 的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是 （ ）A •小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B .小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C.小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上D •小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力答案 ACD7•杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为 m= 0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图 6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s,则下列说法正确的是（g= 10 m/s2）（ ）图6A •“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B •“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D •“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N答案 B解析 水流星在最高点的临界速度 v = ,gL = 4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出.故选B.8.如图7所示，长为I的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球 在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度 v,下列说法正确的是(图7A . v的极小值为.glB. v由零逐渐增大，向心力也增大C.当v由，gl逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D .当v由，gl逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大答案BCD由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零， 小球也不会掉下来,2A错误；v由零逐渐增大，由F =十可知，F向也增大，B正确；当解析mg，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当2mg+ F，故F = m* — mg，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当2 2为支持力.此时， mg— F'= 竽，F '= mg— 竽，支持力因此v的极小值是零,2 mv v = gl 时，F 向=—p2 由.gl增大时，贝U竽v由•.©I减小时，杆对球的力F '逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以 C、D也正确，故选B、C、D.9.质量为0.2 kg的小球固定在长为 0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端 直平面内转动.(g= 10 m/s2)求：0点的水平轴在竖(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零?⑵当小球在最高点的速度分别为 6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下解析(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg2=m^，解得：v°R=3 m/s.2 v1(2)v1 > v0，由牛顿第二定律得： mg + F1 = m~~，由牛顿第三定律得:RFi '= F!，解得 F1'=6 N，方向竖直向上.2V2< Vo,由牛顿第二定律得： mg — F2= mv^，由牛顿第三定律得:Rf2'= f2,解得：f2' =1.5 N，方向竖直向下.题组三综合应用10.质量为25 kg的小孩坐在质量为 5 kg的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁 2.5 m.如果秋千板摆动经过最低点的速度为 3 m/s，这时秋千板所受的压力是多大？每根绳子对秋千板的拉力是多大？ (g取10 m/s2)答案 340 N 204 N解析 把小孩作为研究对象对其进行受力分析知， 小孩受重力G和秋千板对他的的支持力 N2两个力，故在最低点有： N— G = m*2所以 N = mg+ m* = 250 N + 90 N = 340 N由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为 340 N.设每根绳子对秋千板的拉力为 T,将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有： 2T— (M2+ m)g= (M + m)L解得 T = 204 N.11.如图8为电动打夯机的示意图，在电动机的转动轴 O上装一个偏心轮，偏心轮的质量为m,其重心离轴心的距离为 r.除偏心轮外，整个装置其余部分的质量为 M.当电动机匀速转动时，打夯机的底座在地面上跳动而将地面打实夯紧，试分析并回答：(1) 为了使底座能跳离地面，偏心轮的最小角速度 3是多少？(2) 如果偏心轮始终以这个角速度转动，底坐对地面压力的最大值为多少?答案⑴-M；严(2)2Mg + 2mg解析(1)M刚好跳离地面时受力分析如图甲所示：对 m有T1 + mg = mw 2r对 M 有：T1— Mg = 0解得：w— ：^±皿\ mr(2)M对地面的最大压力为 Nm时的受力分析如图乙所示：对 m 有: T2— mg= mw r对 M 有：Nm— Mg — T2= 0解得：Nm = 2Mg + 2mg甲乙。